Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias lineares a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial ordinária linear da forma
. Esse tipo de equação está relacionada a como uma função
muda em relação a
. Para resolver, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que geralmente envolvem encontrar uma solução geral que pode incluir uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Aqui, a equação está na forma
, onde
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 6
Agora, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: