Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias lineares a seguir:
y^prime=3 y-5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial ordinária linear da forma y' = 3y - 5 . Esse tipo de equação está relacionada a como uma função y muda em relação a x . Para resolver, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que geralmente envolvem encontrar uma solução geral que pode incluir uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y' - 3y = -5
Aqui, a equação está na forma y' + P(x)y = Q(x) , onde P(x) = -3 e Q(x) = -5 .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x)dx = e^integral -3 dx = e^-3x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^-3xy' - 3e^-3xy = -5e^-3x
Isso simplifica a equação para:
ddx( e^-3xy ) = -5e^-3x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx(e^-3xy) dx = integral -5e^-3x dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^-3xy , e a integral do lado direito é:
-5 cdot ( e^-3x-3 ) + C = 53e^-3x + C
Então, temos:
e^-3xy = 53e^-3x + C

Passo 6

Agora, resolvemos para y multiplicando ambos os lados por e^3x :
y = 53 + Ce^3x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 53 + C e^3x

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