Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias separáveis a seguir:
y^prime=x^2 y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária separável
y' = x^2y
O conteúdo aqui é o método de separação de variáveis: vamos isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Começamos reescrevendo y'=dydx e separando variáveis:
dydx = x^2y Longrightarrow 1y,dy = x^2,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral x^2,dx
O lado esquerdo dá ln|y| e o direito dá tfracx^33, mais uma constante de integração C:
ln|y| = x^33 + C

Passo 4

Para isolar y, exponenciamos os dois lados:
|y| = e^,ln|y| = e^,x^33 + C = e^C,e^,x^33
Chame e^C de constante K. Assim
y = pm K,e^,x^33
e englobando a solução trivial y=0 escrevemos a constante geral como CinR:

Resposta

y(x) = C,e^x^33, CinR

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