Encontre r(t) :
x^2+y^2=4, z=x^2
12:44 ل/

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a função vetorial r(t) que descreve uma curva no espaço. Temos duas equações:
x^2 + y^2 = 4 e z = x^2
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações paramétricas e geometria analítica. Precisamos parametrizar a curva que satisfaz essas duas equações.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a equação x^2 + y^2 = 4. Isso representa um círculo de raio 2 no plano xy. Para parametrizar um círculo, usamos funções trigonométricas, seno e cosseno, que nos ajudam a representar as coordenadas x e y em termos de um parâmetro t.

Passo 3

Então, podemos definir:
x(t) = 2 cos t
y(t) = 2 sin t
Aqui, t é o parâmetro que varia, geralmente de 0 a 2pi, cobrindo todo o círculo.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar z(t). A segunda equação dada é z = x^2. Como já expressamos x em termos de t, substituímos:
z(t) = [x(t)]^2 = (2 cos t)^2 = 4 cos^2 t
Isso nos dá a coordenada z em função de t.

Passo 5

Com as três coordenadas expressas em função de t, podemos escrever a função vetorial r(t) que descreve a curva no espaço:
r(t) = lang<= x(t), y(t), z(t) rang<= = lang<= 2 cos t, 2 sin t, 4 cos^2 t rang<=
Essa é a parametrização completa da curva que satisfaz as equações dadas.

Resposta

A função vetorial que descreve a curva é:
r(t) = lang<= 2 cos t, 2 sin t, 4 cos^2 t rang<=

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