Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias separáveis a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
. Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial ordinária separável, que basicamente significa que conseguimos separar as variáveis
e
de lados diferentes da equação. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente a ideia de separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar
e
. A equação dada é:
Queremos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Isso pode ser escrito como:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar
. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
A integração do lado esquerdo resulta em:
E do lado direito:
Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso simplifica para:
Como
é apenas uma constante (podemos renomeá-la como
), temos:
Removendo o valor absoluto, já que
pode ser positivo ou negativo, obtemos:
Resposta
As soluções da equação diferencial são dadas por:
onde
é uma constante arbitrária.