Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias separáveis a seguir:
y^prime=2 x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial y^prime=2xy. Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial ordinária separável, que basicamente significa que conseguimos separar as variáveis y e x de lados diferentes da equação. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente a ideia de separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar y e x . A equação dada é:
dydx = 2xy
Queremos colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por y :
1y dydx = 2x
Isso pode ser escrito como:
dyy = 2x,dx

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar y . Vamos integrar o lado esquerdo em relação a y e o lado direito em relação a x :
integral 1y , dy = integral 2x , dx
A integração do lado esquerdo resulta em:
ln|y| = integral 1y , dy
E do lado direito:
integral 2x , dx = x^2 + C
Então, temos:
ln|y| = x^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para y , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
e^ln|y| = e^x^2 + C
Isso simplifica para:
|y| = e^x^2 cdot e^C
Como e^C é apenas uma constante (podemos renomeá-la como K ), temos:
|y| = K e^x^2
Removendo o valor absoluto, já que K pode ser positivo ou negativo, obtemos:
y = K e^x^2

Resposta

As soluções da equação diferencial são dadas por:
y = K e^x^2
onde K é uma constante arbitrária.

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