Obtenha a massa do sólido limitado pelos paraboloides y=x^2+z^2 e y=8-x^2-z^2.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido uniforme (densidade rho=1) limitado pelos paraboloides
y = x^2 + z^2
e
y = 8 - x^2 - z^2
Isso envolve cálculo de volume por integração dupla na projeção sobre o plano xz.

Passo 2

Para determinar a região de projeção, igualamos as superfícies na interseção:
x^2 + z^2 = 8 - x^2 - z^2 Longrightarrow 2(x^2 + z^2) = 8 Longrightarrow x^2 + z^2 <= 4
Logo, a projeção é o disco de raio 2 no plano xz.

Passo 3

A massa (que é o volume, pois rho=1) é
integral duplaD l[ysup - yinfr],dA = integral duplaDl[(8 - x^2 - z^2) - (x^2 + z^2)r],dA = integral duplaDl(8 - 2(x^2 + z^2)r),dA

Passo 4

Vamos usar coordenadas polares em Dsubset(x,z):
x = rcostheta, z = rsintheta, dA = r,dr,dtheta, 0 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi
Então a integral fica
integral0^2piintegral0^2l(8 - 2r^2r),r,dr,dtheta

Passo 5

Calculemos a integral em r:
integral0^2(8r - 2r^3),dr = l[4r^2 - tfrac12r^4r]0^2 = l(4cdot4 - tfrac12cdot16r) = 16 - 8 = 8
Multiplicando pela integral em theta:
integral0^2pi8,dtheta = 8cdot2pi = 16pi

Resposta

A massa do sólido é 16pi.

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