Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea 2 x³ y’ = y(y² + 3 x²). Vamos usar a ideia de que, por ser homogênea, podemos fazer a substituição y = v x para reduzir a equação a variáveis separáveis.

Passo 2

Primeiro, escrevemos em forma dy/dx dividindo ambos os lados por 2 x³:
dydx = y(y^2 + 3x^2)2x^3 = 12l(y^3x^3 + 3yxr)
Isso mostra que o lado direito depende apenas de v = y/x, confirmando que é homogênea.

Passo 3

Fazendo a substituição y = v x, temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo na equação original 2(v + x dv/dx) = v³ + 3v.

Passo 4

Isolando dv/dx:
2v + 2xdvdx = v^3 + 3v Longrightarrow 2xdvdx = v^3 + v = v(v^2 + 1)
Agora separam-se as variáveis:
dvv(v^2 + 1) = dx2x

Passo 5

Integramos cada lado. Do lado de v usamos frações parciais:
1v(v^2+1) = 1v - vv^2+1,
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integraldvv(v^2+1) = integraldvv - integralv,dvv^2+1 = ln|v| - tfrac12ln(v^2+1) + C1
Do lado de x dá
integraldx2x = tfrac12ln|x| + C2

Passo 6

Igualando as integrais e reunindo constantes num só C:
ln|v| - tfrac12ln(v^2+1) = tfrac12ln|x| + C
Multiplica-se por 2 e exponencia-se:
2ln|v| - ln(v^2+1) = ln|x| + C'Longrightarrow v^2v^2+1 = Kx,
com K = e^{C’}.

Passo 7

Voltando a y = v x, temos
v^2 = y^2x^2,
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y^2/x^2y^2/x^2 + 1 = Kx Longrightarrow y^2x^2 + y^2 = Kx
Reescrevendo de forma mais direta dá
[y^2(1 - Kx) = Kx^3\quad\Longrightarrow\quad y^2 = \frac{Kx^3}{1-Kx}."]],

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