Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea 2 x³ y’ = y(y² + 3 x²). Vamos usar a ideia de que, por ser homogênea, podemos fazer a substituição y = v x para reduzir a equação a variáveis separáveis.
Passo 2
Primeiro, escrevemos em forma dy/dx dividindo ambos os lados por 2 x³:
Isso mostra que o lado direito depende apenas de v = y/x, confirmando que é homogênea.
Passo 3
Fazendo a substituição y = v x, temos
Substituindo na equação original 2(v + x dv/dx) = v³ + 3v.
Passo 4
Isolando dv/dx:
Agora separam-se as variáveis:
Passo 5
Integramos cada lado. Do lado de v usamos frações parciais:
logo
Do lado de x dá
Passo 6
Igualando as integrais e reunindo constantes num só C:
Multiplica-se por 2 e exponencia-se:
com K = e^{C’}.
Passo 7
Voltando a y = v x, temos
logo
Reescrevendo de forma mais direta dá
[y^2(1 - Kx) = Kx^3\quad\Longrightarrow\quad y^2 = \frac{Kx^3}{1-Kx}."]],