Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma a+i b.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral-3i^2i(z^3 - z),dz usando o Teorema 5.4.2 (teorema fundamental do cálculo para funções holomorfas). Vamos usar que essa função é inteira e, portanto, possui uma antiderivada global.

Passo 2

Precisamos encontrar uma antiderivada F(z) tal que F'(z)=z^3 - z. Integramos termo a termo:
  • integral z^3,dz=z^44
  • integral (-z),dz=-z^22
    Logo, uma antiderivada é
F(z)=z^44-z^22

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral-3i^2i(z^3 - z),dz=F(2i)-F(-3i)

Passo 4

Calculando em z=2i:
F(2i)=(2i)^44-(2i)^22=16i^44-4i^22=4-(-2)=6

Passo 5

Calculando em z=-3i:
F(-3i)=(-3i)^44-(-3i)^22=81i^44-9i^22=814-l(-92r)=814+184=994

Passo 6

Subtraindo os resultados:
integral-3i^2i(z^3 - z),dz=6-994=244-994=-754

Resposta

-tfrac754+0i

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