Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma a+i b.
integral1-i^1+i z^3 d z

Passo 1

O exercício pede pra calcular integral1-i^1+i z^3,dz usando o Teorema 5.4.2 (o teorema fundamental do cálculo para funções complexas). O teor—conteúdo—é integral de função analítica e vamos precisar de sua primitiva.

Passo 2

A função f(z)=z^3 é inteira (analítica em todo C), então pelo Teorema 5.4.2 temos que
integral1-i^1+iz^3,dz = Fl(1+ir)-Fl(1-ir),
onde F'(z)=z^3.
Uma primitiva de z^3 é
F(z)=z^44 + C

Passo 3

Agora vamos avaliar F nos pontos finais. Primeiro calculamos (1+i)^4 e (1-i)^4:
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i,
(1+i)^4 = l((1+i)^2r)^2 = (2i)^2 = -4,
(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i,
(1-i)^4 = l((1-i)^2r)^2 = (-2i)^2 = -4

Passo 4

Logo
F(1+i) = -44 = -1,
F(1-i) = -44 = -1

Passo 5

Subtraindo os valores de F nos limites,
F(1+i)-F(1-i) = -1 - (-1) = 0

Resposta

0 + i0

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