Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

Estamos com a equação diferencial x^3,y'=2yl(raiz[3]y+3x^2r). Isso é uma equação de Bernoulli de grau n=4/3, pois podemos escrevê-la na forma y'-tfrac6xy=tfrac2x^3y^4/3. Vamos usar a teoria de equações de Bernoulli e a substituição associada para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão y'+P(x)y=Q(x)y^n. Dividindo por x^3 e reorganizando, obtemos
y'-6xy=2x^3y^4/3
Aqui P(x)=-6/x, Q(x)=2/x^3 e n=4/3. Na equação de Bernoulli usamos a substituição u=y^1-n=y^-1/3. Então
u'=ddx(y^-1/3)=-tfrac13y^-4/3y'
Reescrevendo y' a partir da equação original e substituindo, conseguimos transformar tudo em uma equação linear em u(x).

Passo 3

Após substituir e simplificar chegamos à equação linear
dudx+2xu=-23x^3
Usamos fator integrante mu(x)=e^integral2/x,dx=x^2. Multiplicando por x^2
ddxl(x^2ur)=-23x
Integrando em relação a x:
x^2u=-23ln|x|+C

Passo 4

Voltando à variável y, temos u=y^-1/3=(Cx^-2-tfrac23x^-2ln|x|). Logo
y(x)=1u^3=x^6l(C-tfrac23ln|x|r)^3

Passo 5

Não podemos esquecer da solução singular yequiv0, que também satisfaz a equação original. Portanto, a família geral de soluções é dada por esse y(x) e pela trivial.

Resposta

As soluções são
y(x)=0
e
y(x)=x^6l(C-tfrac23ln|x|r)^3,
onde C é constante arbitrária.

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