Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
Estamos com a equação diferencial
. Isso é uma equação de Bernoulli de grau
, pois podemos escrevê-la na forma
. Vamos usar a teoria de equações de Bernoulli e a substituição associada para resolvê-la.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação em forma padrão
. Dividindo por
e reorganizando, obtemos
Aqui
,
e
. Na equação de Bernoulli usamos a substituição
. Então
Reescrevendo
a partir da equação original e substituindo, conseguimos transformar tudo em uma equação linear em
.
Passo 3
Após substituir e simplificar chegamos à equação linear
Usamos fator integrante
. Multiplicando por
dá
Integrando em relação a
:
Passo 4
Voltando à variável
, temos
. Logo
Passo 5
Não podemos esquecer da solução singular
, que também satisfaz a equação original. Portanto, a família geral de soluções é dada por esse
e pela trivial.
Resposta
As soluções são
e
onde
é constante arbitrária.