Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma a+i b.
integral1^i(i z+1)^3 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral1^i(iz+1)^3,dz usando o Teorema 5.4.2 (Teorema Fundamental do Cálculo para funções holomorfas). Vamos precisar encontrar uma primitiva (antiderivada) de f(z)=(iz+1)^3 e depois avaliar essa primitiva nos pontos z=1 e z=i.

Passo 2

Para achar a antiderivada, faça a substituição w=iz+1, de modo que dw=i,dz. Assim,
integral(iz+1)^3,dz = integral w^3dwi = 1icdotw^44 + C = (iz+1)^44i + C

Passo 3

Portanto, podemos escolher como primitiva F(z)=dfrac(iz+1)^44i. Agora avalie nos extremos:
  • Para z=i: iz+1=icdot i+1=-1+1=0, então F(i)=0
  • Para z=1: iz+1=i+1=1+i. Como
(1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 2i,
seguido por
(1+i)^4 = (2i)^2 = -4,temos
F(1)=(1+i)^44i = -44i = -1i = i

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental:
integral1^i(iz+1)^3,dz = F(i)-F(1) = 0 - i = -i

Resposta

-i

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