Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma a+i b.
integrali / 2^i e^pi z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integrali/2^i e^pi z,dz usando o Teorema 5.4.2 (o Teorema Fundamental do Cálculo para funções analíticas), pois queremos avaliar uma primitiva de e^pi z entre z=i/2 e z=i.

Passo 2

Pelo Teorema 5.4.2, se f é analítica em um domínio que contém o segmento de reta de z0 a z1, então integralz0^z1f(z),dz = F(z1)-F(z0) onde F' = f. Aqui f(z)=e^pi z é inteira, logo o teorema vale.

Passo 3

Para achar a primitiva F(z), note que ddze^pi z=pi e^pi z. Assim, uma antiderivada é F(z)=1pie^pi z

Passo 4

Agora avaliamos em z=i e z=i/2:
F(i)=1pie^pi i, Fl(tfraci2r)=1pie^pi i2

Passo 5

Usando e^pi i=cospi+isinpi=-1 e e^pi i2=i, temos
F(i)=-1pi, Fl(tfraci2r)=ipi

Passo 6

Portanto
integrali/2^ie^pi z,dz = F(i)-Fl(tfraci2r) = -1pi-ipi

Resposta

(-1/\pi) - i,(1/\pi)

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