Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
(b) x y^{\prime}=y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
x\,y' = y.
O que vamos precisar é transformar em uma relação dy/dx, separar as variáveis y e x, integrar e isolar y.

Passo 2

Escrevendo y'=\frac{dy}{dx}, a equação fica
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}.
Agora agrupamos tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro:
\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}
Isso leva a
\ln\lvert y\rvert = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, exponenciamos:
\lvert y\rvert = e^C\,\lvert x\rvert.
Chamando K = \pm e^C, a solução geral fica
y = K\,x,
sendo K uma constante real arbitrária (inclui aí y=0 quando K=0).

Resposta

A solução geral é
y = C\,x,
com C\in\mathbb{R}.

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