Encontre a solução geral das Equações abaixo:
c) \frac{d y}{d x}=\frac{2 x+x y^{2}}{4 y+x^{2} y}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+xy^{2}}{4y+x^{2}y}.
Vamos resolver usando que é uma equação separável, ou seja, conseguimos escrever a derivada como produto de função só de x por função só de y.

Passo 2

Fatorando x no numerador e y no denominador, a equação vira
\frac{dy}{dx}=\frac{x(2+y^{2})}{y(4+x^{2})}.
Isso mostra claramente que podemos separar as variáveis.

Passo 3

Passamos todos os termos em y para o lado esquerdo e os termos em x para o lado direito, obtendo
\frac{y}{2+y^{2}}\,dy=\frac{x}{4+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados da igualdade:
\int \frac{y}{2+y^{2}}\,dy \;=\;\int \frac{x}{4+x^{2}}\,dx.

Passo 5

Calculando as antiderivadas isoladamente:
\int \frac{y}{2+y^{2}}\,dy=\tfrac12\ln\bigl|2+y^{2}\bigr|
\int \frac{x}{4+x^{2}}\,dx=\tfrac12\ln\bigl|4+x^{2}\bigr|.
Logo, após a integração temos
\tfrac12\ln\bigl|2+y^{2}\bigr|=\tfrac12\ln\bigl|4+x^{2}\bigr|+C.

Passo 6

Multiplicando por 2 e exponenciando, absorvemos a constante em um único parâmetro K:
\ln\bigl|2+y^{2}\bigr|=\ln\bigl|4+x^{2}\bigr|+2C
2+y^{2}=K\,(4+x^{2}),\quad K=e^{2C}.
Reescrevendo de forma mais simpática, temos
\frac{y^{2}+2}{x^{2}+4}=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

\displaystyle \frac{y^{2}+2}{x^{2}+4}=C

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