Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
A equação dada é de primeira ordem e separável, do tipo conteúdo em equações diferenciais ordinárias, e vamos precisar usar separação de variáveis e frações parciais para integrar.
Passo 2
Separamos as variáveis colocando todos os termos em y do lado esquerdo e em x do lado direito:
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, fazemos decomposição em frações parciais:
Determinando A, B e C obtemos A=1, B=\tfrac12 e C=-\tfrac12.
Passo 4
Integrando cada termo:
Somando e igualando a
resulta em
Passo 5
Aplicando exponenciação e reorganizando, fazemos
logo
Isolando
obtemos a forma explícita
com
Passo 6
Além da solução geral, há as soluções de equilíbrio obtidas fazendo
, ou seja
e
.
Resposta
As soluções gerais são
onde