Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
y^prime=y-y^3

Passo 1

A equação dada é de primeira ordem e separável, do tipo conteúdo em equações diferenciais ordinárias, e vamos precisar usar separação de variáveis e frações parciais para integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em y do lado esquerdo e em x do lado direito:
dyy,(1 - y^2) = dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos decomposição em frações parciais:
1y(1 - y^2) = Ay + B1-y + C1+y
Determinando A, B e C obtemos A=1, B=\tfrac12 e C=-\tfrac12.

Passo 4

Integrando cada termo:
integral 1y ,dy = ln|y|, integral 1/21-y ,dy = -tfrac12ln|1-y|, integral -1/21+y ,dy = -tfrac12ln|1+y|
Somando e igualando a integral dx = x + C resulta em
ln|y| - tfrac12ln|1-y^2| = x + C

Passo 5

Aplicando exponenciação e reorganizando, fazemos
lny^21-y^2 = 2x + C'
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y^21-y^2 = K e^2x
Isolando y obtemos a forma explícita
y(x) = pm1raiz1 + A e^-2x,
com A constante arbitrária.

Passo 6

Além da solução geral, há as soluções de equilíbrio obtidas fazendo y' = y - y^3 = 0, ou seja y=0 e y=pm1.

Resposta

As soluções gerais são
y(x) = pm1raiz1 + C e^-2x,
onde C é constante arbitrária, além das soluções constantes de equilíbrio y(x)=0, y(x)=1, y(x)=-1.

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