Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma a+i b.
integral1-i^1+2 i z e^z^2 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função analítica no segmento que vai de 1 - i até 1 + 2i, usando o Teorema 5.4.2, que é o Teorema Fundamental do Cálculo para funções complexas. O conteúdo aqui é integral de linha de função holomorfa e vamos precisar encontrar um antiderivativo de f(z)=z e^z^2.

Passo 2

A primeira etapa é achar uma primitiva F(z) de f(z)=z e^z^2. Note que, pela regra da cadeia, a derivada de e^z^2 é 2z e^z^2. Logo, uma primitiva é
F(z)=tfrac12 e^z^2, pois
F'(z)=tfrac12cdot 2z e^z^2=z e^z^2=f(z)

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo em C, a integral no caminho entre z=a e z=b independe da curva escolhida e vale
integrala^b f(z),dz=F(b)-F(a)
Aqui temos a=1-i e b=1+2i. Então
integral1-i^1+2i z e^z^2,dz=F(1+2i)-F(1-i)=tfrac12l(e^(1+2i)^2-e^(1-i)^2r)

Passo 4

Agora precisamos calcular os quadrados:
(1+2i)^2=1+4i+4i^2=1+4i-4=-3+4i,
(1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i
Substituindo,
integral1-i^1+2i z e^z^2,dz=tfrac12l(e^-3+4i-e^-2ir)

Passo 5

Para expressar na forma a+ib, escrevemos cada exponencial:
e^-3+4i=e^-3(cos4+isin4),
e^-2i=cos2 - isin2
Logo
integral1-i^1+2i z e^z^2,dz=tfrac12l[e^-3(cos4+isin4)-(cos2 - isin2)r]

Passo 6

Distribuindo e agrupando parte real e imaginária, obtemos
e^-3cos4-cos22+ie^-3sin4+sin22

Resposta

e^-3cos4-cos22+ie^-3sin4+sin22

Exercícios relacionados