Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de uma função analítica no segmento que vai de
até
, usando o Teorema 5.4.2, que é o Teorema Fundamental do Cálculo para funções complexas. O conteúdo aqui é integral de linha de função holomorfa e vamos precisar encontrar um antiderivativo de
.
Passo 2
A primeira etapa é achar uma primitiva
de
. Note que, pela regra da cadeia, a derivada de
é
. Logo, uma primitiva é
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo em
, a integral no caminho entre
e
independe da curva escolhida e vale
Aqui temos
e
. Então
Passo 4
Agora precisamos calcular os quadrados:
Substituindo,
Passo 5
Para expressar na forma
, escrevemos cada exponencial:
Logo
Passo 6
Distribuindo e agrupando parte real e imaginária, obtemos