Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral complexa
usando o Teorema 5.4.2 (teorema da primitiva). O conteúdo é encontrar uma primitiva de
e depois usar o Teorema Fundamental do Cálculo em contornos.
Passo 2
Para achar a primitiva, lembramos que
. Então uma primitiva de
é
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental,
Passo 4
Agora calculamos cada valor. Primeiro,
Passo 5
E
Passo 6
Usando
, temos
$$\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}+i\bigr)=0\cdot\cosh1 - i\cdot1\cdot\sinh1=-i\sinh1.
$$
Passo 7
Logo
$$F(\pi+2i)=-2(-i\sinh1)=2i\sinh1.
$$
Passo 8
Subtraindo,
$$\int_{\pi}^{\pi+2i}\sin\frac{z}{2},dz=2i\sinh1-0=2i\sinh1.
$$
Passo 9
Escrevendo na forma
, temos
e
.