Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma a+i b.
integralpi^pi+2 i sen z2 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral complexa integralpi^pi+2isinz2,dz usando o Teorema 5.4.2 (teorema da primitiva). O conteúdo é encontrar uma primitiva de sin(z/2) e depois usar o Teorema Fundamental do Cálculo em contornos.

Passo 2

Para achar a primitiva, lembramos que ddzcosz2=-tfrac12sinz2. Então uma primitiva de sinz2 é
F(z)=-2cosz2

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental,
integralpi^pi+2isinz2,dz=F(pi+2i)-F(pi)

Passo 4

Agora calculamos cada valor. Primeiro,
F(pi)=-2cospi2=-2cdot0=0

Passo 5

E
F(pi+2i)=-2cosl(tfracpi+2i2r)=-2cosl(tfracpi2+ir)

Passo 6

Usando cos(x+iy)=cos xcosh y - isin xsinh y, temos
$$\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}+i\bigr)=0\cdot\cosh1 - i\cdot1\cdot\sinh1=-i\sinh1.
$$

Passo 7

Logo
$$F(\pi+2i)=-2(-i\sinh1)=2i\sinh1.
$$

Passo 8

Subtraindo,
$$\int_{\pi}^{\pi+2i}\sin\frac{z}{2},dz=2i\sinh1-0=2i\sinh1.
$$

Passo 9

Escrevendo na forma a+i b, temos a=0 e b=2sinh1.

Resposta

0 + i,2sinh(1)

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