Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
y^prime=y-y^2

Passo 1

Enunciado: resolver a EDO de variáveis separáveis
Temos a equação
y' = y - y^2
O conteúdo aqui é equações diferenciais de 1ª ordem de variáveis separáveis. Vamos precisar reescrever a derivada como dy/dx, separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrever a derivada e separar as variáveis
Escrevendo y' = dydx e colocando todos os termos com y de um lado e x do outro, obtemos:
dyy(1-y) = dx

Passo 3

Decompor em frações parciais
Para integrar o lado esquerdo, fazemos a decomposição:
1y(1-y) = 1y + 11-y

Passo 4

Integrar ambos os lados
Integrando cada termo, temos
integral l(1y + 11-yr) dy = integral dx
que resulta em
ln|y| - ln|1-y| = x + C

Passo 5

Isolar y e encontrar a solução geral
Exponenciando, vem
y1-y = Ce^x
Isolando y:
y = Ce^x1 + Ce^x
Além disso, as soluções constantes y(x)=0 e y(x)=1 também satisfazem a equação original.

Resposta

As soluções gerais são as constantes y(x)=0 e y(x)=1 e a família de soluções não constantes
y(x) = Ce^x1 + Ce^x,
onde C é constante real arbitrária.

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