Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
Enunciado: resolver a EDO de variáveis separáveis
Temos a equação
O conteúdo aqui é equações diferenciais de 1ª ordem de variáveis separáveis. Vamos precisar reescrever a derivada como
, separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Reescrever a derivada e separar as variáveis
Escrevendo
e colocando todos os termos com
de um lado e
do outro, obtemos:
Passo 3
Decompor em frações parciais
Para integrar o lado esquerdo, fazemos a decomposição:
Passo 4
Integrar ambos os lados
Integrando cada termo, temos
que resulta em
Passo 5
Isolar
e encontrar a solução geral
Exponenciando, vem
Isolando
:
Além disso, as soluções constantes
e
também satisfazem a equação original.
Resposta
As soluções gerais são as constantes
e
e a família de soluções não constantes
onde
é constante real arbitrária.