Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma a+i b.
integralpi i^2 pi i cosh z d z

Passo 1

O exercício pede para calcular integralpi i^2pi i cosh z ,dz, usando o Teorema 5.4.2 (o Teorema Fundamental do Cálculo para funções holomorfas). Vamos precisar reconhecer uma primitiva de cosh z.

Passo 2

Sabendo que a derivada de sinh z é cosh z, escolhemos como primitiva
F(z)=sinh z

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo em C, temos
integralpi i^2pi i cosh z ,dz = F(2pi i) - F(pi i) = sinh(2pi i) - sinh(pi i)

Passo 4

Agora usamos a relação sinh(itheta)=isintheta. Logo:
sinh(2pi i)=isin(2pi)=icdot0=0,
sinh(pi i)=isin(pi)=icdot0=0
Então
sinh(2pi i)-sinh(pi i)=0-0=0

Resposta

0

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