integralC 1z d z, C é o segmento de reta entre 1+i e 4+4 i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa integralC 1z,dz, onde C é o segmento de reta de 1+i até 4+4i. Esse é um conteúdo de integrais em variáveis complexas e podemos usar a existência de primitiva de 1/z, que é , desde que o caminho não passe por zero.

Passo 2

A função f(z)=1/z admite primitiva em qualquer domínio que não contenha o ponto F(z)=Log(z). Nosso caminho z=0 fica inteiramente no primeiro quadrante e não cruza ramo de corte, então podemos usar a rama principal de .
Pelo teorema da primitiva, temos:

Passo 3

Agora calculamos módulo e argumento de cada ponto. Para 1+i temos módulo raiz2 e argumento pi/4. Para 4+4i temos módulo 4raiz2 e mesmo argumento pi/4. Assim,

Passo 4

Subtraindo, o termo imaginário ipi/4 cancela e sobra apenas a diferença dos logaritmos dos módulos:
integralC 1z,dz = ln(4raiz2) - ln(raiz2) = lnl(tfrac4raiz2raiz2r) = ln(4)

Resposta

ln(4)

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