é o segmento de reta entre
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
, onde
é o segmento de reta de
até
. Esse é um conteúdo de integrais em variáveis complexas e podemos usar a existência de primitiva de
, que é , desde que o caminho não passe por zero.
Passo 2
A função
admite primitiva em qualquer domínio que não contenha o ponto
. Nosso caminho
fica inteiramente no primeiro quadrante e não cruza ramo de corte, então podemos usar a rama principal de .
Pelo teorema da primitiva, temos:
Pelo teorema da primitiva, temos:
Passo 3
Agora calculamos módulo e argumento de cada ponto. Para
temos módulo
e argumento
. Para
temos módulo
e mesmo argumento
. Assim,
Passo 4
Subtraindo, o termo imaginário
cancela e sobra apenas a diferença dos logaritmos dos módulos: