Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma a+i b.
integrali^1+(pi / 2) i senh 3 z d z

Passo 1

Estamos com a integral de integrali^1+tfracpi2isenh3z,dz, indo de z=i até z=1+tfracpi2i. O conteúdo é integrais de funções holomorfas e vamos usar o Teorema 5.4.2, que diz que toda função holomorfa tem antiderivada e a integral é a diferença dessa antiderivada nos extremos.

Passo 2

Para achar a antiderivada de senh3z, lembramos que ddzcosh(3z)=3senh(3z). Logo, uma primitiva é
F(z)=13cosh(3z)

Passo 3

Pelo Teorema 5.4.2, temos
integrali^1+tfracpi2isenh3z,dz=Fl(1+tfracpi2ir)-F(i)

Passo 4

Vamos calcular cada termo. Primeiro,
coshl(3l(1+tfracpi2ir)r)=coshl(3+itfrac3pi2r)
Usando a fórmula cosh(a+ib)=cosh acos b+isinh asin b e sabendo costfrac3pi2=0, sintfrac3pi2=-1, obtemos
cosh(3+itfrac3pi2)=-isinh3

Passo 5

Depois,
cosh(3i)=cos3,
pois cosh(itheta)=costheta.

Passo 6

Substituindo em F e fazendo a diferença,
Fl(1+tfracpi2ir)-F(i)=13(-isinh3)-13cos3=-cos33-isinh33

Resposta

(-\frac{\cos3}{3} - i\frac{\sinh3}{3})

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