Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
y-2 x y=x y^2

Passo 1

O enunciado joga pra gente uma equação diferencial de variáveis separáveis que, implicitamente, é
dydx-2xy=xy^2
Então o conteúdo é separação de variáveis, e vamos precisar isolar dy e dx e integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro passo na prática: reescrever a equação na forma dydx=f(x)g(y). Somando 2xy em ambos os lados, temos
dydx=xy^2+2xy=xy(y+2)

Passo 3

Agora vem o pulo do gato das variáveis separáveis: dividir por y(y+2) e multiplicar por dx, ficando
1y(y+2),dy=x,dx Esse passo usa a ideia de que podemos tratar y como variável independente ao integrar.

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
1y(y+2)=Ay+By+2,
com solução A=tfrac12 e B=-tfrac12. Logo
integral1y(y+2),dy=12integrall(1y-1y+2r)dy =12l(ln|y| - ln|y+2|r)+C1
O lado direito é fácil:
integral x,dx=x^22+C2

Passo 5

Igualando as duas integrais e incorporando constantes, dá
12l(ln|y| - ln|y+2|r)=x^22+C
ou, multiplicando por 2 e juntando logaritmos,
lnl|yy+2r|=x^2+C'

Passo 6

Voltando do logaritmo, escrevemos
yy+2=Ce^x^2,
onde C=e^C'. Isolando y:
y=C e^x^2(y+2)implies yl(1-Ce^x^2r)=2C e^x^2implies y=2C e^x^21-Ce^x^2

Passo 7

Não podemos esquecer das soluções constantes que surgem quando se anula o fator que fizemos dividir: y=0 e y=-2 também satisfazem a equação original.

Passo 8

Portanto, temos a solução geral não-constante
y(x)=2C e^x^21-Ce^x^2, CinR, \
e as soluções constantes y=0 e y=-2.

Resposta

As soluções são
y(x)=\frac{2C e{x2}}{1-Ce{x2}}, C\in\mathbb{R},
além de y\equiv0 e y\equiv-2.

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