Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
O enunciado joga pra gente uma equação diferencial de variáveis separáveis que, implicitamente, é
Então o conteúdo é separação de variáveis, e vamos precisar isolar dy e dx e integrar cada lado.
Passo 2
Primeiro passo na prática: reescrever a equação na forma
. Somando
em ambos os lados, temos
Passo 3
Agora vem o pulo do gato das variáveis separáveis: dividir por
e multiplicar por
, ficando
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
com solução
e
. Logo
O lado direito é fácil:
Passo 5
Igualando as duas integrais e incorporando constantes, dá
ou, multiplicando por 2 e juntando logaritmos,
Passo 6
Voltando do logaritmo, escrevemos
onde
C=e^C' . Isolando
y :
Passo 7
Não podemos esquecer das soluções constantes que surgem quando se anula o fator que fizemos dividir:
y=0 e
y=-2 também satisfazem a equação original.
Passo 8
Portanto, temos a solução geral não-constante
e as soluções constantes
y=0 e
y=-2 .
Resposta
As soluções são
y(x)=\frac{2C e{x2}}{1-Ce{x2}}, C\in\mathbb{R},
y(x)=\frac{2C e{x2}}{1-Ce{x2}}, C\in\mathbb{R},
além de y\equiv0 e y\equiv-2.