Resolva os problemas de valor inicial: y' + 4y cot(2x) = 6 cos(2x), y(pi/4) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação dada é:
Temos também uma condição inicial:
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, e .
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante :
Primeiro, integramos :
Sabemos que , então:
Assim, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com ângulos onde é positivo, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equa��ão original pelo fator integrante:
A esquerda agora é a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado direito:
Fazemos uma substituição: seja , então , ou seja, .
Substituindo:
Então,

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial :
Primeiro, calculamos e .
Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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