Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação dada é:
Temos também uma condição inicial:
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Passo 3
Vamos calcular o fator integrante
:
Primeiro, integramos
:
Sabemos que
, então:
Assim, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com ângulos onde
é positivo, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equa��ão original pelo fator integrante:
A esquerda agora é a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver a integral do lado direito:
Fazemos uma substituição: seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Então,
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Primeiro, calculamos
e
.
Substituindo na expressão de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: