Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( e y=2) e ( e ).
Passo 1
Ok, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial . Vamos descobrir as soluções gerais dessa equação. Para isso, vamos precisar entender a matéria de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especialmente aquelas com termos não homogêneos (o lado direito da equação). Vamos quebrar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Essa é chamada de equação diferencial homogênea associada. A solução geral dela é chamada de solução complementar.
Passo 3
Para resolver , buscamos soluções da forma . Substituindo na equação:
Como nunca é zero, temos . Então, .
Passo 4
Como as raízes são complexas com e , a solução complementar é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . A ideia é encontrar uma função que, quando derivada e substituída na equação, satisfaça a igualdade.
Passo 6
Dividimos a solução particular em duas partes, uma para cada termo do lado direito:
Onde:
será a solução para
será a solução para
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar para o termo . Tentamos uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Então,
Passo 8
Agora, vamos encontrar para o termo . Tentamos uma solução polinomial da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Distribuindo:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Então,
Passo 10
Juntando as duas partes da solução particular:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar com a solução particular:
Passo 12
Agora, precisamos provar que as soluções complementares e formam o conjunto fundamental de soluções. Isso significa que elas são linearmente independentes e que qualquer solução da equação homogênea pode ser escrita como combinação linear delas.
Para verificar a independência linear, calculamos o Wronskiano:
Como o Wronskiano não é zero, as soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.
Passo 13
Finalmente, vamos encontrar as constantes C1 e C2 para os dois casos de condições iniciais:
As soluções complementares cos(5x) e sin(5x) formam um conjunto fundamental de soluções. As constantes de integração C1 e C2 para os casos dados são determinadas conforme mostrado nos passos acima.