Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( x=0 ; y=1 e x=1 y=2) e ( x=0 ; y=1 e x=1 y^prime=1 ).
y^prime prime+25 y=e^2 x+x^2

Passo 1

Ok, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial y'' + 25y = e^2x + x^2 . Vamos descobrir as soluções gerais dessa equação. Para isso, vamos precisar entender a matéria de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especialmente aquelas com termos não homogêneos (o lado direito da equação). Vamos quebrar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, y'' + 25y = 0 . Essa é chamada de equação diferencial homogênea associada. A solução geral dela é chamada de solução complementar.

Passo 3

Para resolver y'' + 25y = 0 , buscamos soluções da forma y = e^rx . Substituindo na equação:
r^2 e^rx + 25 e^rx = 0 implies e^rx(r^2 + 25) = 0
Como e^rx nunca é zero, temos r^2 + 25 = 0 . Então, r = pm 5i .

Passo 4

Como as raízes são complexas alpha pm beta i com alpha = 0 e beta = 5 , a solução complementar é:
yc(x) = C1 cos(5x) + C2 sin(5x)

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação completa y'' + 25y = e^2x + x^2 . A ideia é encontrar uma função que, quando derivada e substituída na equação, satisfaça a igualdade.

Passo 6

Dividimos a solução particular em duas partes, uma para cada termo do lado direito:
yp(x) = yp1(x) + yp2(x)
Onde:
  • yp1(x) será a solução para e^2x
  • yp2(x) será a solução para x^2

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar yp1(x) para o termo e^2x . Tentamos uma solução da forma yp1(x) = A e^2x . Derivando:
yp1' = 2A e^2x
yp1'' = 4A e^2x
Substituindo na equação:
4A e^2x + 25A e^2x = e^2x implies 29A e^2x = e^2x implies A = 129
Então,
yp1(x) = 129 e^2x

Passo 8

Agora, vamos encontrar yp2(x) para o termo x^2 . Tentamos uma solução polinomial da forma yp2(x) = Bx^2 + Cx + D . Derivando:
yp2' = 2Bx + C
yp2'' = 2B
Substituindo na equação:
2B + 25(Bx^2 + Cx + D) = x^2
Distribuindo:
2B + 25Bx^2 + 25Cx + 25D = x^2

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para x^2 :
25B = 1 implies B = 125
Para x :
25C = 0 implies C = 0
Para o termo constante:
2B + 25D = 0 implies 2 ( 125 ) + 25D = 0 implies 225 + 25D = 0 implies D = -2625
Então,
yp2(x) = 125x^2 - 2625

Passo 10

Juntando as duas partes da solução particular:
yp(x) = 129 e^2x + 125x^2 - 2625

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar com a solução particular:
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1 cos(5x) + C2 sin(5x) + 129 e^2x + 125x^2 - 2625

Passo 12

Agora, precisamos provar que as soluções complementares cos(5x) e sin(5x) formam o conjunto fundamental de soluções. Isso significa que elas são linearmente independentes e que qualquer solução da equação homogênea pode ser escrita como combinação linear delas.
Para verificar a independência linear, calculamos o Wronskiano:
W(y1, y2) = cos(5x) & sin(5x) -5sin(5x) & 5cos(5x) = cos(5x) cdot 5cos(5x) - sin(5x) cdot (-5sin(5x)) = 5(cos^2(5x) + sin^2(5x)) = 5 neq 0
Como o Wronskiano não é zero, as soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.

Passo 13

Finalmente, vamos encontrar as constantes C1 e C2 para os dois casos de condições iniciais:
Caso 1: x = 0, y = 1 e x = 1, y = 2
Substituindo x = 0 na solução geral:
1 = C1 cos(0) + C2 sin(0) + 129 e^0 + 125(0)^2 - 2625
1 = C1 (1) + C2 (0) + 129 - 2625
1 = C1 + 129 - 2625
C1 = 1 - 129 + 2625 = 2929 - 129 + 2625 = 2829 + 2625 = 28 cdot 625 + 2 cdot 2929 cdot 625 = 17500 + 5818125 = 1755818125
Agora, substituindo x = 1, y = 2 :
2 = C1 cos(5) + C2 sin(5) + 129 e^2 + 125(1)^2 - 2625
2 = 1755818125 cos(5) + C2 sin(5) + 129 e^2 + 125 - 2625
Resolvendo para C2 :
C2 = 2 - 1755818125 cos(5) - 129 e^2 - 125 + 2625sin(5)
Caso 2: x = 0, y = 1 e x = 1, y' = 1
Já temos C1 = 1755818125 . Agora, precisamos calcular y' da solução geral:
y'(x) = -5C1 sin(5x) + 5C2 cos(5x) + 229 e^2x + 225x
Substituindo x = 1, y' = 1 :
1 = -5C1 sin(5) + 5C2 cos(5) + 229 e^2 + 225(1)
1 = -5 ( 1755818125 ) sin(5) + 5C2 cos(5) + 229 e^2 + 225
Resolvendo para C2 :
C2 = 1 + 5 ( 1755818125 ) sin(5) - 229 e^2 - 2255 cos(5)

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' + 25y = e^2x + x^2 é:
y(x) = C1 cos(5x) + C2 sin(5x) + 129 e^2x + 125x^2 - 2625
As soluções complementares cos(5x) e sin(5x) formam um conjunto fundamental de soluções. As constantes de integração C1 e C2 para os casos dados são determinadas conforme mostrado nos passos acima.

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