Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( x=0 ; y=1 e x=1 y=2) e ( x=0 ; y=1 e x=1 y^prime=1 ).
y^prime prime+2 y^prime+2 y=e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar as soluções gerais da equação y'' + 2y' + 2y = e^-x . Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e Método da Solução Particular. Para isso, vamos precisar encontrar:
  1. A solução complementar (geral da equação homogênea associada).
  2. A solução particular da equação completa.
  3. Provar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental.
  4. Determinar as constantes de integração para os casos específicos apresentados.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução complementar. Para isso, consideramos a equação homogênea associada:
y'' + 2y' + 2y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve isso encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo y = e^rx na equação homogênea:
r^2 + 2r + 2 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r .

Passo 4

Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver r^2 + 2r + 2 = 0 :
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1, b = 2, c = 2
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4(1)(2)2(1)
r = -2 pm raiz4 - 82
r = -2 pm raiz-42
r = -2 pm 2i2
r = -1 pm i
As raízes são complexas: r = -1 + i e r = -1 - i .

Passo 5

Com raízes complexas da forma alpha pm beta i , a solução complementar geral é:
yc(x) = e^alpha x(C1 cosbeta x + C2 sinbeta x)
No nosso caso, alpha = -1 e beta = 1 , então:
yc(x) = e^-x(C1 cosx + C2 sinx)

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação completa y'' + 2y' + 2y = e^-x .
Como o lado direito é e^-x , que é uma função exponencial, a gente tenta uma solução particular da forma yp(x) = A e^-x , onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculamos as derivadas de yp(x) :
yp'(x) = -A e^-x
yp''(x) = A e^-x
Substituímos yp , yp' e yp'' na equação original:
A e^-x + 2(-A e^-x) + 2(A e^-x) = e^-x
A e^-x - 2A e^-x + 2A e^-x = e^-x
(A - 2A + 2A) e^-x = e^-x
A e^-x = e^-x
Então, A = 1 , e a solução particular é:
yp(x) = e^-x

Passo 8

A solução geral da equação completa é a soma da solução complementar com a solução particular:
y(x) = yc(x) + yp(x)
y(x) = e^-x(C1 cosx + C2 sinx) + e^-x
y(x) = e^-x(C1 cosx + C2 sinx + 1)

Passo 9

Agora, precisamos provar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental. Para isso, verificamos se as soluções e^-xcosx e e^-xsinx são linearmente independentes.
Calculamos o Wronskiano:
W = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y2 y1'
Onde:
y1 = e^-xcosx, y2 = e^-xsinx
y1' = -e^-xcosx - e^-xsinx
y2' = -e^-xsinx + e^-xcosx
Calculamos o Wronskiano:
W = e^-xcosx cdot (-e^-xsinx + e^-xcosx) - e^-xsinx cdot (-e^-xcosx - e^-xsinx)
W = e^-2x(-cosxsinx + cos^2x) + e^-2x(sinxcosx + sin^2x)
W = e^-2x(cos^2x + sin^2x)
W = e^-2x cdot 1
W = e^-2x
Como o Wronskiano W neq 0 para todo x , as soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.

Passo 10

Agora, vamos determinar as constantes de integração C1 e C2 para os casos específicos.

Caso 1: x = 0; y = 1 e x = 1; y = 2

Usamos a solução geral:
y(x) = e^-x(C1 cosx + C2 sinx + 1)
Para x = 0; y = 1 :
y(0) = e^0(C1 cos0 + C2 sin0 + 1) = C1 + 1 = 1
C1 = 0
Para x = 1; y = 2 :
y(1) = e^-1(0 cdot cos1 + C2 sin1 + 1) = e^-1(C2 sin1 + 1) = 2
C2 sin1 + 1 = 2 e^1
C2 sin1 = 2 e - 1
C2 = 2 e - 1sin1

Caso 2: x = 0; y = 1 e x = 1; y' = 1

Já sabemos que C1 = 0 .
Agora, calculamos y'(x) :
y'(x) = -e^-x(C1 cosx + C2 sinx + 1) + e^-x(-C1 sinx + C2 cosx)
y'(x) = -e^-x(C1 cosx + C2 sinx + 1) + e^-x(-C1 sinx + C2 cosx)
Como C1 = 0 :
y'(x) = -e^-x(C2 sinx + 1) + e^-x(C2 cosx)
y'(x) = e^-x(C2 cosx - C2 sinx - 1)
Para x = 1; y' = 1 :
y'(1) = e^-1(C2 cos1 - C2 sin1 - 1) = 1
C2 (cos1 - sin1) - 1 = e
C2 (cos1 - sin1) = e + 1
C2 = e + 1cos1 - sin1

Resposta

As soluções gerais da equação diferencial y'' + 2y' + 2y = e^-x são:
y(x) = e^-x(C1 cosx + C2 sinx + 1)
Para os casos específicos:
  1. Quando x = 0; y = 1 e x = 1; y = 2 :
C1 = 0
C2 = 2 e - 1sin1
  1. Quando x = 0; y = 1 e x = 1; y' = 1 :
C1 = 0
C2 = e + 1cos1 - sin1

Exercícios relacionados