Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( e y=2) e ( e ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar as soluções gerais da equação . Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e Método da Solução Particular. Para isso, vamos precisar encontrar:
A solução complementar (geral da equação homogênea associada).
A solução particular da equação completa.
Provar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental.
Determinar as constantes de integração para os casos específicos apresentados.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução complementar. Para isso, consideramos a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve isso encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 4
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver :
As raízes são complexas: e .
Passo 5
Com raízes complexas da forma , a solução complementar geral é:
No nosso caso, e , então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa .
Como o lado direito é , que é uma função exponencial, a gente tenta uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação original:
Então, , e a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação completa é a soma da solução complementar com a solução particular:
Passo 9
Agora, precisamos provar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental. Para isso, verificamos se as soluções e são linearmente independentes.