Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( x=0 ; y=1 e x=1 y=2) e ( x=0 ; y=1 e x=1 y^prime=1 ).
y^prime prime+16 y=cos (2 x)+2 sen(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 16,y = cos(2x) + 2sin(3x),
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver precisamos:
  1. Encontrar a solução complementar yc da equação homogênea y''+16y=0.
  2. Encontrar uma solução particular yp para o termo forçante cos(2x)+2sin(3x).
  3. Verificar que as funções da solução complementar formam um conjunto fundamental (Wronskiano não nulo).
  4. Ajustar as constantes de integração para as condições iniciais:
    (a) y(0)=1, y(1)=2.
    (b) y(0)=1, y'(1)=1.

Passo 2

Resolvendo a homogênea y''+16y=0, escrevemos o polinômio característico
r^2 +16 =0
cuja raiz é r=pm4i. Logo a solução complementar é
yc(x) = C1cos(4x) + C2sin(4x)

Passo 3

Para achar uma solução particular yp ao forçamento cos(2x)+2sin(3x), usamos o método dos coeficientes a determinar. Supomos
yp(x) = Acos(2x) + Bsin(2x) + Ccos(3x) + Dsin(3x)
Calculamos derivadas:
yp'' = -4Acos(2x)-4Bsin(2x)-9Ccos(3x)-9Dsin(3x)
Substituindo em y''+16y, obtemos
(-4A+16A)cos(2x)+(-4B+16B)sin(2x)+(-9C+16C)cos(3x)+(-9D+16D)sin(3x)
Isto deve valer cos(2x)+2sin(3x). Igualando coeficientes:
12A=1, 12B=0, 7C=0, 7D=2
de onde
A=tfrac112,;B=0,;C=0,;D=tfrac27
Assim
yp(x) = tfrac112cos(2x) + tfrac27sin(3x)

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1cos(4x) + C2sin(4x) + tfrac112cos(2x) + tfrac27sin(3x)
Para provar que cos(4x),sin(4x) é um conjunto fundamental, calculamos o Wronskiano:
W = cos(4x) & sin(4x) -4sin(4x) & 4cos(4x) =4cos^2(4x)+4sin^2(4x)=4neq0
Logo são linearmente independentes.

Passo 5

Aplicando as condições y(0)=1 e y(1)=2:
Em x=0 tem-se
y(0)=C1 + tfrac112=1 ;Longrightarrow; C1 =1 - tfrac112 = tfrac1112
Em x=1 exige-se
C1cos(4)+C2sin(4) + tfrac112cos(2) + tfrac27sin(3) =2
Substituindo C1=tfrac1112 e isolando C2:
C2 = 2 - l(tfrac1112cos(4) + tfrac112cos(2) + tfrac27sin(3)r)sin(4)

Passo 6

Aplicando as condições y(0)=1 e y'(1)=1:
Já temos C1=tfrac1112. Calculamos
y'(x) = -4C1sin(4x) +4C2cos(4x) -tfrac212sin(2x)+tfrac67cos(3x)
Em x=1 exige-se y'(1)=1, logo
-4l(tfrac1112r)sin(4) +4C2cos(4) -tfrac16sin(2)+tfrac67cos(3) =1
Isolando C2:
C2 = 1 + tfrac113sin(4) + tfrac16sin(2) - tfrac67cos(3)4cos(4)

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1cos(4x)+C2sin(4x) +tfrac112cos(2x)+tfrac27sin(3x)
Para y(0)=1, y(1)=2:
C1=tfrac1112, C2=2 - l(tfrac1112cos(4) + tfrac112cos(2) + tfrac27sin(3)r)sin(4)
Para y(0)=1, y'(1)=1:
C1=tfrac1112, C2=1 + tfrac113sin(4) + tfrac16sin(2) - tfrac67cos(3)4cos(4)

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