Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( e y=2) e ( e ).
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver precisamos:
Encontrar a solução complementar da equação homogênea .
Encontrar uma solução particular para o termo forçante .
Verificar que as funções da solução complementar formam um conjunto fundamental (Wronskiano não nulo).
Ajustar as constantes de integração para as condições iniciais: (a), . (b), .
Passo 2
Resolvendo a homogênea , escrevemos o polinômio característico
cuja raiz é . Logo a solução complementar é
Passo 3
Para achar uma solução particular ao forçamento , usamos o método dos coeficientes a determinar. Supomos
Calculamos derivadas:
Substituindo em , obtemos
Isto deve valer . Igualando coeficientes:
de onde
Assim
Passo 4
A solução geral é
Para provar que é um conjunto fundamental, calculamos o Wronskiano:
Logo são linearmente independentes.
Passo 5
Aplicando as condições y(0)=1 e y(1)=2:
Em x=0 tem-se