Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( x=0 ; y=1 e x=1 y=2) e ( x=0 ; y=1 e x=1 y^prime=1 ).
y^prime prime+10 y^prime+25 y=10 senh(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial que precisa resolver:
y'' + 10 y' + 25 y = 10 sinh(2x)
Esse tipo de equação está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução complementar (associada à equação homogênea) e pela solução particular (devido ao termo não homogêneo, que aqui é 10 sinh(2x)). Além disso, vamos mostrar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental de soluções e, por fim, calcular as constantes de integração para os casos específicos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é igual a zero:
y'' + 10 y' + 25 y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma y = e^rx e substituímos na equação:
r^2 e^rx + 10 r e^rx + 25 e^rx = 0
Dividindo por e^rx (que nunca é zero), temos a equação característica:
r^2 + 10 r + 25 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r^2 + 10 r + 25 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a = -10 pm raiz100 - 1002 = -10 pm 02 = -5
Encontramos uma raiz dupla r = -5. Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução complementar é:
yc(x) = (C1 + C2 x) e^-5x
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular ( yp) para a equação completa:
y'' + 10 y' + 25 y = 10 sinh(2x)
Sabemos que sinh(2x) = e^2x - e^-2x2, mas para simplificar, vamos assumir que a solução particular terá a forma:
yp(x) = A sinh(2x) + B cosh(2x)
Onde A e B são constantes a serem determinados.

Passo 5

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = 2A cosh(2x) + 2B sinh(2x)
yp'' = 4A sinh(2x) + 4B cosh(2x)
Substituindo yp, yp' e yp'' na equação diferencial:
(4A sinh(2x) + 4B cosh(2x)) + 10(2A cosh(2x) + 2B sinh(2x)) + 25(A sinh(2x) + B cosh(2x)) = 10 sinh(2x)
Simplificando:
4A sinh(2x) + 4B cosh(2x) + 20A cosh(2x) + 20B sinh(2x) + 25A sinh(2x) + 25B cosh(2x) = 10 sinh(2x)
Agrupando os termos semelhantes:
  • Coeficientes de sinh(2x): 4A + 20B + 25A = (29A + 20B)
  • Coeficientes de cosh(2x): 4B + 20A + 25B = (20A + 29B)
Então, temos:
(29A + 20B) sinh(2x) + (20A + 29B) cosh(2x) = 10 sinh(2x)

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes dos termos sinh(2x) e cosh(2x) devem ser iguais nos dois lados da equação:
  1. 29A + 20B = 10
  2. 20A + 29B = 0
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 7

Multiplicando a segunda equação por -1 para facilitar a eliminação:
  1. 29A + 20B = 10
  2. -20A - 29B = 0
Agora, somando as duas equações:
(29A - 20A) + (20B - 29B) = 10 + 0 9A - 9B = 10
Simplificando:
A - B = 109 (i)
Agora, podemos resolver para uma das variáveis, por exemplo, A = B + 109.
Substituindo na primeira equação:
29(B + 109) + 20B = 10 29B + 2909 + 20B = 10 49B + 2909 = 10
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar o denominador:
441B + 290 = 90 441B = -200 B = -200441 = -200441
Então,
A = -200441 + 109 = -200441 + 490441 = 290441

Passo 8

Agora que temos A e B, podemos escrever a solução particular:
yp(x) = 290441 sinh(2x) - 200441 cosh(2x)

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
y(x) = yc(x) + yp(x) = (C1 + C2 x) e^-5x + 290441 sinh(2x) - 200441 cosh(2x)

Passo 10

Agora, vamos provar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental de soluções. Isso significa que as soluções y1(x) = e^-5x e y2(x) = x e^-5x são linearmente independentes.
Para verificar isso, calculamos o determinante de Wronskiano:
W(y1, y2) = y1 & y2 y1' & y2' = e^-5x & x e^-5x -5 e^-5x & e^-5x -5x e^-5x
Calculando o determinante:
W = e^-5x (e^-5x -5x e^-5x) - x e^-5x (-5 e^-5x) = e^-10x -5x e^-10x +5x e^-10x = e^-10x neq 0
Como W neq 0, as soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.

Passo 11

Agora, vamos avaliar os valores das constantes de integração para os dois casos:
Caso 1:
  • x=0, y=1
  • x=1, y=2
Caso 2:
  • x=0, y=1
  • x=1, y'=1
Vamos resolver cada caso separadamente.

Caso 1

Temos as condições iniciais:
  1. y(0) = 1
  2. y(1) = 2
Vamos substituir na solução geral.
Primeiro, para x=0:
y(0) = (C1 + C2 cdot 0) e^0 + 290441 sinh(0) - 200441 cosh(0) = C1 - 200441 cdot 1 = 1
Então:
C1 - 200441 = 1 C1 = 1 + 200441 = 441441 + 200441 = 641441
Agora, para x=1 e y=2:
y(1) = ( 641441 + C2 cdot 1 ) e^-5 + 290441 sinh(2) - 200441 cosh(2) = 2
Resolvendo numericamente (para simplificação, mantendo as constantes como estão):
641441 e^-5 + C2 e^-5 + 290441 sinh(2) - 200441 cosh(2) = 2
Isolando C2:
C2 e^-5 = 2 - 641441 e^-5 - 290441 sinh(2) + 200441 cosh(2) C2 = [ 2 - 641441 e^-5 - 290441 sinh(2) + 200441 cosh(2) ] e^5

Caso 2

Condições iniciais:
  1. x=0, y=1
  2. x=1, y'=1
Primeiro, já temos C1 = 641441 a partir de y(0) =1.
Agora, calculamos a derivada da solução geral:
y'(x) = ddx [ (C1 + C2 x) e^-5x + 290441 sinh(2x) - 200441 cosh(2x) ]
Derivando termo a termo:
y'(x) = C2 e^-5x + (C1 + C2 x)(-5 e^-5x) + 580441 cosh(2x) - 400441 sinh(2x)
Simplificando:
y'(x) = C2 e^-5x -5C1 e^-5x -5C2 x e^-5x + 580441 cosh(2x) - 400441 sinh(2x)
Agora, aplicando a condição x=1, y'=1:
C2 e^-5 -5 cdot 641441 e^-5 -5C2 cdot 1 cdot e^-5 + 580441 cosh(2) - 400441 sinh(2) = 1
Agrupando os termos com C2:
C2 e^-5 -5C2 e^-5 = (1 -5) C2 e^-5 = -4 C2 e^-5
Então:
-4 C2 e^-5 -5 cdot 641441 e^-5 + 580441 cosh(2) - 400441 sinh(2) = 1
Isolando C2:
-4 C2 e^-5 = 1 +5 cdot 641441 e^-5 - 580441 cosh(2) + 400441 sinh(2) C2 = - [ 1 +5 cdot 641441 e^-5 - 580441 cosh(2) + 400441 sinh(2) ] 4 e^-5 C2 = -1 +5 cdot 641441 e^-5 - 580441 cosh(2) + 400441 sinh(2)4 e^-5 C2 = -[ 14 e^5 + 5 cdot 6414 cdot 441 - 5804 cdot 441 e^5 cosh(2) + 4004 cdot 441 e^5 sinh(2) ]

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = ( 641441 + C2 x ) e^-5x + 290441 sinh(2x) - 200441 cosh(2x)
Onde as constantes de integração C1 = 641441 e C2 são determinadas pelos casos específicos apresentados:
  • Caso 1: C2 = [ 2 - 641441 e^-5 - 290441 sinh(2) + 200441 cosh(2) ] e^5
  • Caso 2: C2 = -1 +5 cdot 641441 e^-5 - 580441 cosh(2) + 400441 sinh(2)4 e^-5

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