Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( e y=2) e ( e ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial que precisa resolver:
Esse tipo de equação está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução complementar (associada à equação homogênea) e pela solução particular (devido ao termo não homogêneo, que aqui é ). Além disso, vamos mostrar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental de soluções e, por fim, calcular as constantes de integração para os casos específicos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma e substituímos na equação:
Dividindo por (que nunca é zero), temos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Encontramos uma raiz dupla . Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução complementar é:
Onde e são constantes de integração.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular () para a equação completa:
Sabemos que , mas para simplificar, vamos assumir que a solução particular terá a forma:
Onde e são constantes a serem determinados.
Passo 5
Calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Coeficientes de :
Coeficientes de :
Então, temos:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos e devem ser iguais nos dois lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 7
Multiplicando a segunda equação por para facilitar a eliminação:
Agora, somando as duas equações:
Simplificando:
Agora, podemos resolver para uma das variáveis, por exemplo, .
Substituindo na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar o denominador:
Então,
Passo 8
Agora que temos e , podemos escrever a solução particular:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Passo 10
Agora, vamos provar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental de soluções. Isso significa que as soluções e são linearmente independentes.
Para verificar isso, calculamos o determinante de Wronskiano: