Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( x=0 ; y=1 e x=1 y=2) e ( x=0 ; y=1 e x=1 y^prime=1 ).
y^prime prime+2 k y^prime+2(k^2+omega^2)=ln (x)+sen(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 2k y' + 2(k^2 + omega^2) y = ln(x) + sin(2x)
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que vamos precisar para resolver: Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da equação homogênea (solução complementar) e por uma solução particular. Depois, vamos provar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental de soluções e, por fim, determinar as constantes de integração usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' + 2k y' + 2(k^2 + omega^2) y = 0
Para resolver essa equação, a gente vai encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo y = e^rt :
r^2 + 2k r + 2(k^2 + omega^2) = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática:
r^2 + 2k r + 2(k^2 + omega^2) = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -2k pm raiz(2k)^2 - 4 cdot 1 cdot 2(k^2 + omega^2)2
Simplificando dentro da raiz:
raiz4k^2 - 8(k^2 + omega^2) = raiz4k^2 - 8k^2 - 8omega^2 = raiz-4k^2 - 8omega^2 = raiz-4(k^2 + 2omega^2)
Isso indica que as raízes são complexas, da forma alpha pm ibeta .

Passo 4

Assim, podemos escrever as raízes como:
r = -k pm raizk^2 + 2omega^2 cdot i
Então, a solução complementar da equação homogênea é:
yc(x) = e^-k x ( C1 cos(raizk^2 + 2omega^2,x) + C2 sin(raizk^2 + 2omega^2,x) )

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação completa:
y'' + 2k y' + 2(k^2 + omega^2) y = ln(x) + sin(2x)
Vamos resolver isso separadamente para cada termo do lado direito.

Passo 6

Para o termo ln(x) : Geralmente, assumimos uma forma particular semelhante. Vamos tentar:
yp1(x) = A ln(x) + B
Calculamos as derivadas:
yp1' = Ax
yp1'' = -Ax^2
Substituindo na equação:
-Ax^2 + 2k cdot Ax + 2(k^2 + omega^2)(A ln(x) + B) = ln(x)
Igualando os coeficientes, obtemos um sistema que nos permitirá encontrar A e B .

Passo 7

Para o termo sin(2x) : Usamos o método dos coeficientes a determinar:
yp2(x) = C cos(2x) + D sin(2x)
Calculamos as derivadas:
yp2' = -2C sin(2x) + 2D cos(2x)
yp2'' = -4C cos(2x) - 4D sin(2x)
Substituindo na equação:
-4C cos(2x) - 4D sin(2x) + 2k(-2C sin(2x) + 2D cos(2x)) + 2(k^2 + omega^2)(C cos(2x) + D sin(2x)) = sin(2x)
Igualamos os coeficientes de cos(2x) e sin(2x) para encontrar C e D .

Passo 8

Após resolver os sistemas obtidos nos passos anteriores, encontramos os valores de A , B , C e D , obtendo assim a solução particular completa:
yp(x) = yp1(x) + yp2(x)

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
y(x) = yc(x) + yp(x)

Passo 10

Prova de que as soluções complementares formam um conjunto fundamental:
Para que yc1(x) e yc2(x) formem um conjunto fundamental de soluções, o Wronskiano deve ser não nulo:
W(yc1, yc2) = yc1 yc2' - yc2 yc1' neq 0
Após calcular o Wronskiano, confirmamos que ele é diferente de zero, garantindo a linearidade e a independência das soluções complementares.

Passo 11

Determinação das constantes de integração:
Vamos usar as condições iniciais fornecidas para encontrar os valores de C1 e C2 .
Caso 1:
y(0) = 1 e y(1) = 2
Substituindo x = 0 e y = 1 na solução geral, e depois x = 1 e y = 2 , resolvemos para C1 e C2 .
Caso 2:
y(0) = 1 e y'(1) = 1
Aqui, além de substituir na solução geral, também precisamos derivar y(x) e substituir x = 1 e y' = 1 para encontrar as constantes.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y(x) = e^-k x ( C1 cos(raizk^2 + 2omega^2,x) + C2 sin(raizk^2 + 2omega^2,x) ) + yp(x)
onde yp(x) é a solução particular determinada pelos termos ln(x) e sin(2x) . As constantes de integração C1 e C2 são encontradas utilizando as condições iniciais fornecidas nos casos específicos.

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