Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que (
e
y=2) e (
e
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que vamos precisar para resolver: Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da equação homogênea (solução complementar) e por uma solução particular. Depois, vamos provar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental de soluções e, por fim, determinar as constantes de integração usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, a gente vai encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo
:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando dentro da raiz:
Isso indica que as raízes são complexas, da forma
.
Passo 4
Assim, podemos escrever as raízes como:
Então, a solução complementar da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos resolver isso separadamente para cada termo do lado direito.
Passo 6
Para o termo
: Geralmente, assumimos uma forma particular semelhante. Vamos tentar:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes, obtemos um sistema que nos permitirá encontrar
e
.
Passo 7
Para o termo
: Usamos o método dos coeficientes a determinar:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualamos os coeficientes de
e
para encontrar
e
.
Passo 8
Após resolver os sistemas obtidos nos passos anteriores, encontramos os valores de
,
,
e
, obtendo assim a solução particular completa:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Passo 10
Prova de que as soluções complementares formam um conjunto fundamental:
Para que
e
formem um conjunto fundamental de soluções, o Wronskiano deve ser não nulo:
Após calcular o Wronskiano, confirmamos que ele é diferente de zero, garantindo a linearidade e a independência das soluções complementares.
Passo 11
Determinação das constantes de integração:
Vamos usar as condições iniciais fornecidas para encontrar os valores de
e
.
Caso 1:
Substituindo
e
na solução geral, e depois
e
, resolvemos para
e
.
Caso 2:
Aqui, além de substituir na solução geral, também precisamos derivar
e substituir
e
para encontrar as constantes.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
é a solução particular determinada pelos termos
e
. As constantes de integração
e
são encontradas utilizando as condições iniciais fornecidas nos casos específicos.