Determine soluções de mínimos quadrados para a, b e c, d das seguintes funções
f(x)=a x+b x^2
e
g(x)=c e^x-d
para o conjuto de dados abaixo e, dada as soluções, qual das funções produz o melhor ajuste.
|c|c|c|c|c|c|c| hline$x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline$y$ & 0 & 1,7 & 6,4 & 19 & 54 & 147 hline 0 1 2 3 4 5
0 1,7 6,4 19 54 147

Passo 1

O enunciado pede ajustar dois modelos aos dados via mínimos quadrados: f(x)=a x + b x^2 e g(x)=c e^x - d. Vamos usar a formulação de sistema normal para ajustar cada modelo separadamente.

Passo 2

Para f(x)=a x + b x^2: montamos o sistema normal A^T A [a;b]^T = A^T y, onde as somas necessárias são
sum xi=15, sum xi^2=55, sum xi^3=225, sum xi^4=979,
sum xi yi=1022.5, sum xi^2 yi=4737.3
O sistema fica
55 & 225225 & 979 ab= 1022.54737.3
Resolvendo, obtemos
aapprox -20.1407, bapprox 9.468.

Passo 3

Para g(x)=c e^x - d: minimizamos sum(c e^xi-d - yi)^2. As equações normais são
csum e^2xi - dsum e^xi = sum yi e^xi, csum e^xi - nd = sum yi,
com
sum e^xiapprox234.204, sum e^2xiapprox25473.842, sum yi=228.1, sum yi e^xiapprox25200.549, n=6
Resolvendo o sistema, achamos
capprox0.9979, dapprox0.9336.

Passo 4

Agora calculamos a soma dos quadrados dos resíduos (SSE) em cada modelo. Para f obtemos SSEfapprox671.8. Para g obtemos SSEgapprox0.25.

Passo 5

Comparando as SSEs, o modelo g(x)=c e^x - d dá ajuste muito melhor aos dados, pois SSEgll SSEf.

Resposta

Para f(x): a ≈ -20.1407, b ≈ 9.468. Para g(x): c ≈ 0.9979, d ≈ 0.9336. O modelo g(x)=c e^x - d produz o melhor ajuste pois sua soma de quadrados dos resíduos é muito menor.

Exercícios relacionados