Determine as soluções particulares das equações diferenciais listadas a seguir:
\frac{d y}{d x}=\frac{4 x-x^{3}}{4+y^{3}} ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{4x - x^3}{4 + y^3},
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo é separação de variáveis e integração de ambos os lados.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando os termos em y de um lado e os termos em x do outro:
(4 + y^3)\,dy = (4x - x^3)\,dx.

Passo 3

Integramos cada lado:
\int(4 + y^3)\,dy = \int(4x - x^3)\,dx.
No lado esquerdo
\int(4 + y^3)\,dy = 4y + \frac{y^4}{4} + C_1,
e no lado direito
\int(4x - x^3)\,dx = 2x^2 - \frac{x^4}{4} + C_2.
Subtraindo as constantes definimos C = C_2 - C_1.

Passo 4

A solução implícita geral fica
4y + \frac{y^4}{4} = 2x^2 - \frac{x^4}{4} + C.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
4\cdot1 + \frac{1^4}{4} = C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{17}{4}.
Portanto a solução particular é
4y + \frac{y^4}{4} = 2x^2 - \frac{x^4}{4} + \frac{17}{4}.

Resposta

4y + \frac{y^4}{4} = 2x^2 - \frac{x^4}{4} + \frac{17}{4}.

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