Determine as soluções particulares das equações diferenciais listadas a seguir:
\frac{d y}{d x}=(1-2 x) \cdot y^{2} ; y(0)=\frac{-1}{6}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = (1 - 2x)\,y^{2},
com condição inicial y(0) = -\tfrac{1}{6}.
O conteúdo é equação diferencial de variável separável, em que vamos separar as variáveis y e x e integrar cada lado.

Passo 2

Separe as variáveis passando y^2 para o denominador do lado esquerdo e dx para o direito:
\frac{dy}{y^{2}} = (1 - 2x)\,dx.
Aqui identificamos g(y)=y^{-2} e h(x)=1-2x.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y^{-2}\,dy = \int (1 - 2x)\,dx.
No lado esquerdo
\int y^{-2}\,dy = -\,y^{-1} + C_{1},
e no direito
\int (1 - 2x)\,dx = x - x^{2} + C_{2}.
Reunindo constantes ( C = C_{2}-C_{1}), obtemos
-\,\frac{1}{y} = x - x^{2} + C.

Passo 4

Resolva para y:
\frac{1}{y} = -\bigl(x - x^{2} + C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = -\,\frac{1}{\,x - x^{2} + C\,}.
Use a condição inicial y(0) = -\tfrac{1}{6}:
-\frac{1}{\,0 - 0 + C\,} = -\frac{1}{6} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{C} = \frac{1}{6} \;\Longrightarrow\; C = 6.

Passo 5

Substituindo C=6 na solução geral, fica
y(x) = -\,\frac{1}{\,x - x^{2} + 6\,}.
Podemos também reescrever o denominador:
x - x^{2} + 6 = -(x^{2} - x - 6),
logo
y(x) = \frac{1}{\,x^{2} - x - 6\,},
que satisfaz y(0) = 1/(-6) = -1/6.

Resposta

\boxed{y(x) = -\frac{1}{\,x - x^{2} + 6\,} \quad\text{ou, equivalentemente,}\quad y(x) = \frac{1}{\,x^{2} - x - 6\,}.}

Exercícios relacionados