Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados u, v in R^3 e constante a in R segue-se que:
nabla times(a u+v)=a nabla times u+nabla times v

Passo 1

O enunciado nos pede para provar que, dados os campos vetoriais vec u=(u1,u2,u3) e vec v=(v1,v2,v3) em R^3 e uma constante ain R, valem
nablacdotl(avec u+vec vr)=a,nablacdotvec u+nablacdotvec v e nablatimesl(avec u+vec vr)=a,nablatimesvec u+nablatimesvec v
O conteúdo aqui é a linearidade de derivadas parciais, que usaremos para mostrar a linearidade dos operadores divergente e rotacional.

Passo 2

Lembrando a definição do divergente de um campo vec F=(F1,F2,F3):
nablacdotvec F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
Para o campo vec G=avec u+vec v=(a,u1+v1,;a,u2+v2,;a,u3+v3), aplicamos a derivada parcial componente a componente.

Passo 3

Pela linearidade da derivada parcial, em cada componente temos
partialpartial x(a,u1+v1) = a,partial u1partial x + partial v1partial x,
e de modo análogo para as derivadas em y e z. Somando essas três expressões resulta
nablacdotl(avec u+vec vr) = a!l(partialxu1+partialyu2+partialzu3r) + l(partialxv1+partialyv2+partialzv3r),
ou seja
nablacdotl(avec u+vec vr) = a,nablacdotvec u + nablacdotvec v

Passo 4

Agora lembramos a definição de rotacional (curl) de vec F=(F1,F2,F3):
nablatimesvec F = ex & ey & ez partialx & partialy & partialz F1 & F2 & F3 ,
cuja expansão componente a componente é
(nablatimesvec F)1 = partialyF3 - partialzF2, (nablatimesvec F)2 = partialzF1 - partialxF3, (nablatimesvec F)3 = partialxF2 - partialyF1

Passo 5

Para vec G=avec u+vec v, cada componente do rotacional fica, por exemplo na primeira coordenada,
(nablatimesvec G)1 = partialy(a,u3+v3) - partialz(a,u2+v2) = a,l(partialyu3-partialzu2r) + l(partialyv3-partialzv2r)
Procedendo igual para as outras duas coordenadas, reunimos em vetor
nablatimesl(avec u+vec vr) = a,nablatimesvec u + nablatimesvec v

Resposta

Mostramos que
nablacdotl(avec u+vec vr) = a,nablacdotvec u + nablacdotvec v e nablatimesl(avec u+vec vr) = a,nablatimesvec u + nablatimesvec v,
isto é, divergente e rotacional são operadores lineares.

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