Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados
e constante
segue-se que:
Passo 1
O enunciado nos pede para provar que, dados os campos vetoriais
e
em
e uma constante
, valem
O conteúdo aqui é a linearidade de derivadas parciais, que usaremos para mostrar a linearidade dos operadores divergente e rotacional.
Passo 2
Lembrando a definição do divergente de um campo
:
Para o campo
, aplicamos a derivada parcial componente a componente.
Passo 3
Pela linearidade da derivada parcial, em cada componente temos
e de modo análogo para as derivadas em
e
. Somando essas três expressões resulta
ou seja
Passo 4
Agora lembramos a definição de rotacional (curl) de
:
cuja expansão componente a componente é
Passo 5
Para
vec G=avec u+vec v , cada componente do rotacional fica, por exemplo na primeira coordenada,
Procedendo igual para as outras duas coordenadas, reunimos em vetor
Resposta
Mostramos que
isto é, divergente e rotacional são operadores lineares.