Nos problemas 4.23 a 4.45 , resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial.
4.43 x e^x^2 d x+(y^5-1) d y=0 ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x e^x^2,dx + l(y^5 - 1r),dy = 0
com condição inicial y(0)=0. Trata-se de uma equação exata em x e y.

Passo 2

Verificamos exatidão comparando as derivadas parciais:
partialpartial yl(x e^x^2r)=0, partialpartial xl(y^5-1r)=0,
logo partial M/partial y=partial N/partial x e a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=x e^x^2, partial Fpartial y=y^5-1
Integrando a primeira relação em x,
F(x,y)=integral x e^x^2,dx + h(y) =tfrac12 e^x^2 + h(y)

Passo 4

Agora impomos partial F/partial y = y^5-1, ou seja
h'(y)=y^5-1 Longrightarrow h(y)=integral(y^5-1),dy=tfracy^66-y
Portanto
F(x,y)=tfrac12 e^x^2 + tfracy^66 - y

Passo 5

A solução geral implícita é
F(x,y)=C ;Longrightarrow; tfrac12 e^x^2 + tfracy^66 - y = C
Usando y(0)=0 obtemos
tfrac12cdot e^0 + 0 -0 = C, ou seja C=tfrac12.

Resposta

tfrac12 e^x^2 + tfracy^66 - y = tfrac12

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