Determine soluções particulares para as seguintes equações:
y^prime prime+y^prime+2 y= tsent .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
y'' + y' + 2y = t sin t
Aqui, vamos procurar uma solução particular para essa equação. Para isso, precisamos lembrar do método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução específica quando o lado direito da equação (neste caso, t sin t ) tem uma forma conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que nossa equação é do tipo linear não homogênea, onde a parte homogênea é:
y'' + y' + 2y = 0
A solução geral dessa parte homogênea seria a soma das soluções da equação característica associada. Mas, como estamos focando na solução particular, vamos deixar isso de lado por enquanto.

Passo 3

Agora, focando na parte não homogênea t sin t , precisamos escolher uma forma para nossa solução particular yp que se assemelhe a essa expressão. Geralmente, quando o lado direito é um polinômio multiplicado por funções trigonométricas, nossa tentativa será um polinômio de grau igual multiplicado pela mesma função trigonométrica.
Então, tentamos:
yp = (A t + B) sin t + (C t + D) cos t
Onde A, B, C, D são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos derivar yp para encontrar yp' e yp'' :
Primeira derivada yp' :
yp' = A sin t + (A t + B) cos t + C cos t + (C t + D) (-sin t)
Segunda derivada yp'' :
yp'' = 2A cos t - (A t + B) sin t - 2C sin t - (C t + D) cos t

Passo 5

Agora, substituímos yp , yp' e yp'' na equação original:
yp'' + yp' + 2yp = t sin t
Substituindo as derivadas:
[2A cos t - (A t + B) sin t - 2C sin t - (C t + D) cos t] + [A sin t + (A t + B) cos t + C cos t - (C t + D) sin t] + 2[(A t + B) sin t + (C t + D) cos t] = t sin t

Passo 6

Vamos simplificar e agrupar os termos semelhantes:
Coeficiente de t sin t :
- A t sin t - C t sin t + A t sin t + 2A t sin t = ( -C + A ) t sin t
Coeficiente de sin t :
- B sin t - 2C sin t + A sin t - D sin t + 2B sin t = (A - B - 2C - D ) sin t
Coeficiente de t cos t :
- C t cos t + A t cos t + C t cos t + 2C t cos t = (A + 2C ) t cos t
Coeficiente de cos t :
2A cos t - D cos t + C cos t + 2D cos t = (2A + C + D ) cos t

Passo 7

Igualando os coeficientes aos do lado direito da equação t sin t , temos:
Para t sin t :
-A + A + (-C) = 1 Rightarrow -C = 1 Rightarrow C = -1
Para sin t :
A - B - 2C - D = 0
Para t cos t :
A + 2C = 0
Para cos t :
2A + C + D = 0

Passo 8

Agora, substituímos C = -1 nas outras equações:
De A + 2C = 0 :
A + 2(-1) = 0 Rightarrow A = 2
De 2A + C + D = 0 :
2(2) + (-1) + D = 0 Rightarrow 4 -1 + D = 0 Rightarrow D = -3
De A - B - 2C - D = 0 :
2 - B - 2(-1) - (-3) = 0 Rightarrow 2 - B + 2 + 3 = 0 Rightarrow 7 - B = 0 Rightarrow B = 7

Resposta

A solução particular da equação é:
yp = (2t + 7) sin t + (-t - 3) cos t

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