Determine soluções particulares para as seguintes equações:
tsent .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, vamos procurar uma solução particular para essa equação. Para isso, precisamos lembrar do método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução específica quando o lado direito da equação (neste caso,
) tem uma forma conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que nossa equação é do tipo linear não homogênea, onde a parte homogênea é:
A solução geral dessa parte homogênea seria a soma das soluções da equação característica associada. Mas, como estamos focando na solução particular, vamos deixar isso de lado por enquanto.
Passo 3
Agora, focando na parte não homogênea
, precisamos escolher uma forma para nossa solução particular
que se assemelhe a essa expressão. Geralmente, quando o lado direito é um polinômio multiplicado por funções trigonométricas, nossa tentativa será um polinômio de grau igual multiplicado pela mesma função trigonométrica.
Então, tentamos:
Onde
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Primeira derivada
:
Segunda derivada
:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Substituindo as derivadas:
Passo 6
Vamos simplificar e agrupar os termos semelhantes:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Passo 7
Igualando os coeficientes aos do lado direito da equação
, temos:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, substituímos
nas outras equações:
De
:
De
:
De
:
Resposta
A solução particular da equação é: