Justifique: Nenhum dos conjuntos abaixo tem estrutura de um espaço vetorial.
com a adição usual em
e a multiplicação por escalar usual de
para
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a adição e multiplicação por escalares as usuais em
. O conteúdo é verificar se
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
. Para isso, basta testar fechamento em adição e em multiplicação por escalar (os demais axiomas seguem automaticamente do ambiente
).
Passo 2
Verificamos primeiro o fechamento em adição e a presença do vetor zero. Se
, então
Aqui
e
, logo a soma fica em
. O vetor nulo
também pertence a
porque
e
. Assim, os axiomas de adição estão OK.
Passo 3
Agora testamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
Enquanto
sempre,
nem sempre está em
: se escolhermos
irracional e
racional, então
. Isso mostra que
em geral, ou seja, não há fechamento em multiplicação por escalar.