Justifique: Nenhum dos conjuntos abaixo tem estrutura de um espaço vetorial.
S=(r, q) in R^2 / r in R e q in Q com a adição usual em R^2 e a multiplicação por escalar usual de R para R^2.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (r,q)inR^2 mid rinR e qinQ
com a adição e multiplicação por escalares as usuais em R^2. O conteúdo é verificar se S satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo R. Para isso, basta testar fechamento em adição e em multiplicação por escalar (os demais axiomas seguem automaticamente do ambiente R^2).

Passo 2

Verificamos primeiro o fechamento em adição e a presença do vetor zero. Se (r1,q1),(r2,q2)in S, então
(r1,q1)+(r2,q2) = (r1+r2,;q1+q2)
Aqui r1+r2inR e q1+q2inQ, logo a soma fica em S. O vetor nulo (0,0) também pertence a S porque 0inR e 0inQ. Assim, os axiomas de adição estão OK.

Passo 3

Agora testamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e (r,q)in S. Então
alphacdot (r,q) = (alpha r,;alpha q)
Enquanto alpha rinR sempre, alpha q nem sempre está em Q: se escolhermos alpha irracional e qneq0 racional, então alpha qnotinQ. Isso mostra que alphacdot(r,q)notin S em geral, ou seja, não há fechamento em multiplicação por escalar.

Resposta

S não é um espaço vetorial porque falha o fechamento na multiplicação por escalar.

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