Determine as soluções dos sistemas lineares abaixo usando adição.
(a) \left\{\begin{array}{l}5 x+2 y=14 \\\\ 10 x+4 y=-9\end{array}\right.
(b) \left\{\begin{array}{l}3 x+10 y=0 \\\\ -4 x+4 y=-13\end{array}\right.
(c) \left\{\begin{array}{l}5 x+2 y=14 \\\\ 10 x+4 y=28\end{array}\right.

Passo 1

Temos três sistemas lineares 2\times2 e vamos usar o método da adição (eliminação) para descobrir suas soluções. A ideia é combinar as equações de modo a eliminar uma variável, resolver para a outra e então voltar para encontrar a primeira. Também precisamos reconhecer casos em que o sistema fica inconsistente ou indeterminado.

Passo 2

Resolvendo o sistema (a):
\begin{cases} 5x+2y=14,\\\\ 10x+4y=-9. \end{cases}
Multiplicamos a primeira equação por 2:
2\cdot(5x+2y=14)\;\Longrightarrow\;10x+4y=28.
Agora subtraímos a segunda equação:
(10x+4y)-(10x+4y)=28-(-9) \;\Longrightarrow\;0=37.
Como 0=37 é uma contradição, o sistema não tem solução.

Passo 3

Resolvendo o sistema (b):
\begin{cases} 3x+10y=0,\\\\ -4x+4y=-13. \end{cases}
Para eliminar x, multiplicamos a primeira por 4 e a segunda por 3:
4\cdot(3x+10y=0)\;\Longrightarrow\;12x+40y=0,
3\cdot(-4x+4y=-13)\;\Longrightarrow\;-12x+12y=-39.
Somamos as duas:
(12x+40y)+(-12x+12y)=0+(-39) \;\Longrightarrow\;52y=-39 \;\Longrightarrow\;y=-\tfrac{39}{52}=-\tfrac{3}{4}.
Agora voltamos a 3x+10y=0:
3x+10\Bigl(-\tfrac{3}{4}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\;3x-\tfrac{30}{4}=0 \;\Longrightarrow\;3x=\tfrac{30}{4}=\tfrac{15}{2} \;\Longrightarrow\;x=\tfrac{15}{6}=\tfrac{5}{2}.

Passo 4

Resolvendo o sistema (c):
\begin{cases} 5x+2y=14,\\\\ 10x+4y=28. \end{cases}
Note que a segunda equação é exatamente 2 vezes a primeira:
2\cdot(5x+2y=14)\;\Longrightarrow\;10x+4y=28.
Logo temos apenas uma equação independente para duas incógnitas, o que dá infinitas soluções. Se tomarmos x=t, então
5t+2y=14 \;\Longrightarrow\;2y=14-5t \;\Longrightarrow\;y=\frac{14-5t}{2}, \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) não há solução.
(b) x=\tfrac{5}{2}, y=-\tfrac{3}{4}.
(c) infinitas soluções, dadas por \bigl(x,y\bigr)=\bigl(t,\tfrac{14-5t}{2}\bigr), t\in\mathbb{R}.

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