Sejam A e B matrizes 4 \times 4 com \operatorname{det}(A)=-2 e \operatorname{det}(B)=5. Calcule:
\operatorname{det}\left(A^{t} B\right)

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes quadradas A e B de ordem 4 com \det(A)=-2 e \det(B)=5, e pede \det\bigl(A^{t}B\bigr). O conteúdo aqui é usar as propriedades de determinante de transposta e de produto de matrizes.

Passo 2

Sabemos que para qualquer matriz quadrada M vale
\det\bigl(M^{t}\bigr)=\det(M).
Aplicando a A, obtemos \det\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A)=-2.

Passo 3

Também vale a propriedade do determinante de produto: para matrizes quadradas compatíveis,
\det\bigl(XY\bigr)=\det(X)\,\det(Y).
Logo,
\det\bigl(A^{t}B\bigr) =\det\bigl(A^{t}\bigr)\;\det(B) =(-2)\cdot5=-10.

Resposta

-10

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