Determine as soluções dos sistemas lineares abaixo usando substituição.
(a) \left\{\begin{array}{l}3 x+y=-8 \\\\ 9 x+10 y=4\end{array}\right.
(b) \left\{\begin{array}{l}-x+4 y=-1 \\\\ 2 x-8 y=5\end{array}\right.
(c) \left\{\begin{array}{l}x-3 y=-2 \\\\ -3 x+9 y=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver três sistemas lineares 2\times2 usando o método de substituição, que consiste em:
  1. Isolar uma variável em uma das equações.
  2. Substituir essa expressão na outra equação para achar a segunda variável.
  3. Retro-substituir para encontrar a primeira variável (ou identificar contradição/indeterminação).

Passo 2

Resolvendo o sistema (a)
\begin{cases} 3x + y = -8,\\\\ 9x + 10y = 4. \end{cases}
Isolamos y na primeira equação:
y = -8 - 3x.
Substituímos em 9x + 10y = 4:
9x + 10(-8 - 3x) = 4 \quad\Longrightarrow\quad 9x - 80 - 30x = 4 \quad\Longrightarrow\quad -21x = 84 \quad\Longrightarrow\quad x = -4.
Agora retro-substituímos em y = -8 - 3x:
y = -8 - 3(-4) = -8 + 12 = 4.

Passo 3

Resolvendo o sistema (b)
\begin{cases} -\,x + 4y = -1,\\\\ 2x - 8y = 5. \end{cases}
Isolamos x na primeira equação:
x = 4y + 1.
Substituímos em 2x - 8y = 5:
2(4y + 1) - 8y = 5 \quad\Longrightarrow\quad 8y + 2 - 8y = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2 = 5,
que é uma contradição. Logo, o sistema não tem solução.

Passo 4

Resolvendo o sistema (c)
\begin{cases} x - 3y = -2,\\\\ -3x + 9y = 6. \end{cases}
Isolamos x na primeira equação:
x = 3y - 2.
Substituímos em -3x + 9y = 6:
-3(3y - 2) + 9y = 6 \quad\Longrightarrow\quad -9y + 6 + 9y = 6 \quad\Longrightarrow\quad 6 = 6,
identidade que vale para qualquer y. Isso indica infinitas soluções. Podemos parametrizar por y = t\in\mathbb{R}, obtendo
x = 3t - 2,\quad y = t.

Resposta

(a) \,(x,y)=(-4,\,4).
(b) não há solução.
(c) infinitas soluções, dadas por \,(x,y)=(3t-2,\,t),\;t\in\mathbb{R}.

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