Um grupo de piratas dividiu 200 moedas de ouro e 600 moedas de prata entre si. Cada oficial recebeu 5 moedas de ouro e 10 de prata. Cada marinheiro recebeu 3 moedas de ouro e 8 de prata. Cada aprendiz recebeu 1 moeda de ouro e 6 de prata. Quantos piratas há no grupo?

Passo 1

Resumindo o enunciado: um grupo de piratas dividiu 200 moedas de ouro e 600 de prata. Cada oficial recebe 5 de ouro e 10 de prata, cada marinheiro recebe 3 de ouro e 8 de prata, e cada aprendiz recebe 1 de ouro e 6 de prata. Queremos saber quantos piratas há no grupo. Vamos montar um sistema de equações lineares inteiras e mostrar que o total de piratas independe de uma variável livre.

Passo 2

Definimos x = número de oficiais, y = número de marinheiros, z = número de aprendizes. Como se distribuem todas as moedas, temos as equações
5x + 3y + z = 200
10x + 8y + 6z = 600

Passo 3

Para eliminar uma variável, multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda:
10x + 6y + 2z = 400
(10x + 8y + 6z) - (10x + 6y + 2z) = 600 - 400
Isso dá
2y + 4z = 200
y + 2z = 100
y = 100 - 2z

Passo 4

Substituímos y = 100 - 2z na equação do ouro:
5x + 3(100 - 2z) + z = 200
5x + 300 - 6z + z = 200
5x = 5z - 100
x = z - 20
Como x\ge0 e y\ge0, temos z - 20 \ge 0 e 100 - 2z \ge 0, ou seja
20 \le z \le 50.

Passo 5

O total de piratas é
x + y + z = (z - 20) + (100 - 2z) + z = 80,
que não depende do valor escolhido de z dentro da faixa permitida.

Resposta

80

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