Um grupo de piratas dividiu 200 moedas de ouro e 600 moedas de prata entre si. Cada oficial recebeu 5 moedas de ouro e 10 de prata. Cada marinheiro recebeu 3 moedas de ouro e 8 de prata. Cada aprendiz recebeu 1 moeda de ouro e 6 de prata. Quantos piratas há no grupo?
Passo 1
Resumindo o enunciado: um grupo de piratas dividiu 200 moedas de ouro e 600 de prata. Cada oficial recebe 5 de ouro e 10 de prata, cada marinheiro recebe 3 de ouro e 8 de prata, e cada aprendiz recebe 1 de ouro e 6 de prata. Queremos saber quantos piratas há no grupo. Vamos montar um sistema de equações lineares inteiras e mostrar que o total de piratas independe de uma variável livre.
Passo 2
Definimos
= número de oficiais,
= número de marinheiros,
= número de aprendizes. Como se distribuem todas as moedas, temos as equações
Passo 3
Para eliminar uma variável, multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda:
Isso dá
Passo 4
Substituímos
na equação do ouro:
Como
e
, temos
e
, ou seja
Passo 5
O total de piratas é
que não depende do valor escolhido de
dentro da faixa permitida.