Determine as soluções dos sistemas lineares abaixo usando escalonamento.
\left\{\begin{array}{l}3 x+4 y-2 z=2 \\\\ -2 x-5 y+2 z=1 \\\\ 4 x-2 y-z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 3x + 4y - 2z = 2,\\\\ -2x - 5y + 2z = 1,\\\\ 4x - 2y - z = 4 \end{cases}
usando escalonamento (eliminação de Gauss). Vamos eliminar variáveis passo a passo e depois fazer retro-substituição.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e escolhemos 3 (coeficiente de x na primeira equação) como pivô para zerar x nas equações 2 e 3:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & -2 & 2\\\\ -2 & -5 & 2 & 1\\\\ 4 & -2 & -1 & 4 \end{array}\right]
Aplicamos as operações
\begin{aligned} E2' &= 3\cdot E2 + 2\cdot E1,\\\ E3' &= 3\cdot E3 - 4\cdot E1, \end{aligned}
que eliminam x em E2 e E3. O sistema fica
\begin{cases} 3x + 4y - 2z = 2,\\\\ -7y + 2z = 7,\\\\ -22y + 5z = 4. \end{cases}

Passo 3

Agora temos duas equações em y\) e \(z\): \[\begin{cases} -7y + 2z = 7,\\\\ -22y + 5z = 4. \end{cases}
Para eliminar y\], multiplicamos a primeira por \(22 e a segunda por 7, e subtraímos:
\begin{aligned} 22\cdot(-7y+2z)&=-154y+44z=154,\\\\ 7\cdot(-22y+5z)&=-154y+35z=28,\\\ \text{diferença: }9z&=154-28=126. \end{aligned}ç
Logo \,9z=126 e
z = 14.

Passo 4

Substituímos z=14 em -7y+2z=7:
-7y + 2\cdot14 = 7 \quad\Longrightarrow\quad -7y +28 =7 \quad\Longrightarrow\quad -7y = -21 \quad\Longrightarrow\quad y = 3.
Em seguida, voltamos à primeira equação original 3x + 4y - 2z = 2 para encontrar x:
3x + 4\cdot3 - 2\cdot14 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 3x +12 -28 =2 \quad\Longrightarrow\quad 3x -16 =2 \quad\Longrightarrow\quad 3x=18 \quad\Longrightarrow\quad x=6.

Resposta

(x,y,z) = (6,\,3,\,14).

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