Para o sistema \left\{\begin{array}{l}a x+4 y=6 \\\\ 3 x+2 y=b\end{array}\right., determine condições sobre a e b para que exista uma única solução (encontre essa solução), para que não haja nenhuma solução e para que haja infinitas soluções (encontre essas soluções).

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} a x + 4 y = 6,\\\\ 3 x + 2 y = b, \end{cases}
e pede condições em a e b para ter única solução (e ela), nenhuma solução, e infinitas soluções (e estas). O conteúdo é resolução de sistema 2\times 2 por determinante (regra de Cramer) e análise de casos degenerados.

Passo 2

Calcule o determinante principal
D = \begin{vmatrix} a & 4\\\\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2a - 12 = 2(a-6).
Se D \neq 0, ou seja, a \neq 6, o sistema tem única solução dada por Cramer. Calculamos também
D_x = \begin{vmatrix} 6 & 4\\\ b & 2 \end{vmatrix} = 12 - 4b = -4(b-3), \quad D_y = \begin{vmatrix} a & 6\\\\ 3 & b \end{vmatrix} = ab - 18.
Logo, para a \neq 6,
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-4(b-3)}{2(a-6)} = \frac{2(b-3)}{6 - a}, \qquad y = \frac{D_y}{D} = \frac{ab - 18}{2(a-6)} = \frac{18 - ab}{2(6 - a)}.

Passo 3

Agora considere o caso a = 6. As equações tornam-se
6x + 4y = 6 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 2y = 3,
e
3x + 2y = b.
Essas duas só podem ser compatíveis se b = 3.

Passo 4

  • Se a=6 e b \neq 3, as duas retas 3x+2y=3 e 3x+2y=b são paralelas distintas. Não há solução.
  • Se a=6 e b = 3, ambas as equações coincidem em
3x + 2y = 3.
Há infinitas soluções. Podemos parametrizar tomando x = t. Então
2y = 3 - 3t, \quad y = \frac{3 - 3t}{2},
com t\in\mathbb{R}.

Resposta

Para a \neq 6: única solução
x = \frac{2(b-3)}{6 - a}, \quad y = \frac{18 - ab}{2(6 - a)}.
Para a = 6 e b \neq 3: nenhuma solução.
Para a = 6 e b = 3: infinitas soluções, dadas por
x = t,\quad y = \frac{3 - 3t}{2}, \quad t\in\mathbb{R}.

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