Seja r a reta que passa pelos pontos A=(5,4) e B=(14,3) e s a reta que passa por C=(-6,3) e D=(4,2). Como podemos descobrir se essas retas são paralelas ou concorrentes? Se forem concorrentes, qual é o ponto de interseção e em qual quadrante do plano ele está?

Passo 1

O enunciado dá duas retas no plano cartesiano: a reta r que passa por A=(5,4) e B=(14,3), e a reta s que passa por C=(-6,3) e D=(4,2). O conteúdo que vamos usar é a geometria analítica de retas: cálculo de coeficiente angular (declive), comparação de declives para ver se são paralelas e, se não forem, solução do sistema das equações das retas para achar o ponto de interseção.

Passo 2

Calculamos o coeficiente angular de cada reta, que é a taxa de variação de y em função de x.
Para r:
m_{r}=\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} =\frac{3 - 4}{14 - 5} =-\frac{1}{9}.
Para s:
m_{s}=\frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} =\frac{2 - 3}{4 - (-6)} =-\frac{1}{10}.

Passo 3

Duas retas são paralelas se e somente se os coeficientes angulares forem iguais. Aqui
m_{r}=-\tfrac{1}{9} \quad\text{e}\quad m_{s}=-\tfrac{1}{10},
que são diferentes. Logo, as retas não são paralelas e portanto são concorrentes (têm ponto de interseção).

Passo 4

Vamos escrever cada reta em forma explícita y = m x + b.
Para r, partindo de y-4 = -\tfrac{1}{9}(x-5), obtemos
y = -\frac{1}{9}x + \frac{41}{9}.
Para s, a partir de y-3 = -\tfrac{1}{10}(x+6), vem
y = -\frac{1}{10}x + \frac{12}{5}.
Igualando as duas expressões de y para achar o ponto de interseção:
-\frac{1}{9}x + \frac{41}{9} = -\frac{1}{10}x + \frac{12}{5}.
Multiplicando ambos os lados por 90 (mínimo múltiplo de 9 e 10):
-10x + 410 = -9x + 216 \;\Longrightarrow\; -10x + 410 +9x -216 = 0 \;\Longrightarrow\; -x +194 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 194.
Para y, substituímos em qualquer das equações, por exemplo em y = -\tfrac{1}{9}x + \tfrac{41}{9}:
y = -\frac{1}{9}\cdot 194 + \frac{41}{9} = \frac{-194 + 41}{9} = -\frac{153}{9} = -17.
Então o ponto de interseção é (194,\,-17).

Passo 5

Para determinar o quadrante, observamos que x=194>0 e y=-17<0. Isso coloca o ponto no quarto quadrante do plano.

Resposta

As retas não são paralelas, são concorrentes em \bigl(194,-17\bigr), que está no quarto quadrante.

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