Usando escalonamento, determine a solução geral dos sistemas lineares abaixo.
\left\{\begin{array}{l}2 x+y+4 z-2 w=6 \\\\ 3 x+2 y+z-3 w=-2 \\\\ 4 x+3 y-2 z-5 w=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 2x + y + 4z - 2w = 6,\\\\ 3x + 2y + z - 3w = -2,\\\\ 4x + 3y - 2z - 5w = 0, \end{cases}
e pede a solução geral por escalonamento (eliminação de Gauss). São 3 equações e 4 incógnitas, portanto esperamos uma família de soluções com um grau de liberdade.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x das equações 2 e 3 usando combinações lineares que evitam frações:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & -2 & 6\\\\ 3 & 2 & 1 & -3 & -2\\\\ 4 & 3 & -2 & -5 & 0 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\substack{R_2\leftarrow2R_2-3R_1\R_3\leftarrow2R_3-4R_1}}\; \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & -2 & 6\\\\ 0 & 1 & -10 & 0 & -22\\\\ 0 & 2 & -20 & -2 & -24 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora eliminamos y da terceira linha e isolamos w. Fazendo
R_3\leftarrow R_3-2R_2\quad\text{e em seguida}\quad R_3\leftarrow -\tfrac12R_3,
obtém-se
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & -2 & 6\\\\ 0 & 1 & -10 & 0 & -22\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -10 \end{pmatrix},
o que dá imediatamente
w = -10.

Passo 4

Definimos o parâmetro livre \displaystyle z = t. Da segunda linha segue
y -10z = -22 \quad\Longrightarrow\quad y = -22 +10t.
Da primeira linha temos
2x + y +4z -2w = 6 \quad\Longrightarrow\quad 2x +(-22+10t)+4t -2(-10) = 6
2x -22 +10t +4t +20 = 6 \quad\Longrightarrow\quad 2x +14t -2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 8 -14t \quad\Longrightarrow\quad x = 4 -7t.

Passo 5

Reunindo tudo, a solução geral em função do parâmetro t\in\mathbb{R} é
x = 4 -7t,\quad y = -22 +10t,\quad z = t,\quad w = -10.

Resposta

\bigl(x,y,z,w\bigr) = \bigl(4,-22,0,-10\bigr) + t\,(-7,10,1,0), \quad t\in\mathbb{R}.

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