Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que encontremos a solução da equação diferencial com valor inicial dado. As informações fornecidas são:
Queremos obter a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Escolha do método: podemos tratar essa equação de duas formas comuns: como uma equação linear de primeira ordem ou como uma equação separável. Aqui a equação é separável de maneira direta e isso costuma ser mais rápido em prova. Então vou usar separação de variáveis (é um método básico e direto).
Passo 3
Separe as variáveis (colocar todos os termos com
num lado e com
no outro). Partimos de
Dividindo por
e multiplicando por
, obtemos
Explicação didática: aqui usamos que, formalmente, podemos tratar
como uma razão e reorganizar para integrar cada lado em sua variável. Isso é válido enquanto
e
(pontos onde a expressão se anula ou é singular).
Passo 4
Integre ambos os lados. Usamos a fórmula básica
que vale para
. Aplicando com
no lado esquerdo e
no direito:
resulta em
onde
é a constante de integração. Explicando: o logaritmo natural aparece porque a primitiva de
é
.
Passo 5
Elimine o logaritmo exponenciando ambos os lados. Fazendo
obtemos
Chame
para simplificar:
Agora usamos a condição inicial para escolher o sinal e determinar
. Em
temos
, logo
e
. Assim o módulo não altera o sinal: podemos escrever
(Substituiria por
apenas se a condição inicial exigisse sinal negativo; aqui não.)
Passo 6
Determine
usando a condição inicial. Substituindo
e
:
Logo a solução explícita é
Passo 7
Simplifique para a forma final e verifique rapidamente:
Verificação (importante em prova): calcule
. Temos
. Substituindo na equação original,
logo
concorda com a RHS. Portanto a solução está correta. Observação sobre domínio: a equação original é singular em
; como a condição inicial está em
, a solução válida no intervalo que contém
e não contém
é, por exemplo,
.