Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=\frac{y-1}{x+3}, \quad y(0)=7

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a solução da equação diferencial com valor inicial dado. As informações fornecidas são:
y'=\frac{y-1}{x+3},\qquad y(0)=7.
Queremos obter a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Escolha do método: podemos tratar essa equação de duas formas comuns: como uma equação linear de primeira ordem ou como uma equação separável. Aqui a equação é separável de maneira direta e isso costuma ser mais rápido em prova. Então vou usar separação de variáveis (é um método básico e direto).

Passo 3

Separe as variáveis (colocar todos os termos com y num lado e com x no outro). Partimos de
\frac{dy}{dx}=\frac{y-1}{x+3}.
Dividindo por y-1 e multiplicando por dx, obtemos
\frac{dy}{y-1}=\frac{dx}{x+3}.
Explicação didática: aqui usamos que, formalmente, podemos tratar dy/dx como uma razão e reorganizar para integrar cada lado em sua variável. Isso é válido enquanto y\neq1 e x\neq-3 (pontos onde a expressão se anula ou é singular).

Passo 4

Integre ambos os lados. Usamos a fórmula básica
\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C,
que vale para u\neq0. Aplicando com u=y-1 no lado esquerdo e u=x+3 no direito:
\int \frac{dy}{y-1}=\int \frac{dx}{x+3}
resulta em
\ln|y-1|=\ln|x+3|+C,
onde C é a constante de integração. Explicando: o logaritmo natural aparece porque a primitiva de 1/u é \ln|u|.

Passo 5

Elimine o logaritmo exponenciando ambos os lados. Fazendo e^{(\cdot)} obtemos
|y-1|=e^{C}\,|x+3|.
Chame A=e^{C}>0 para simplificar:
|y-1|=A\,|x+3|.
Agora usamos a condição inicial para escolher o sinal e determinar A. Em x=0 temos y(0)=7, logo y(0)-1=6>0 e 0+3=3>0. Assim o módulo não altera o sinal: podemos escrever
y-1=A(x+3).
(Substituiria por y-1=-A(x+3) apenas se a condição inicial exigisse sinal negativo; aqui não.)

Passo 6

Determine A usando a condição inicial. Substituindo x=0 e y=7:
6=A\cdot 3 \quad\Rightarrow\quad A=2.
Logo a solução explícita é
y-1=2(x+3).

Passo 7

Simplifique para a forma final e verifique rapidamente:
y=1+2(x+3)=2x+7.
Verificação (importante em prova): calcule y'. Temos y'=2. Substituindo na equação original,
\frac{y-1}{x+3}=\frac{2x+7-1}{x+3}=\frac{2x+6}{x+3}=2,
logo y'=2 concorda com a RHS. Portanto a solução está correta. Observação sobre domínio: a equação original é singular em x=-3; como a condição inicial está em x=0, a solução válida no intervalo que contém 0 e não contém -3 é, por exemplo, (-3,\infty).

Resposta

y(x)=2x+7

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