Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
Temos a equação diferencial com condição inicial
Temos a equação diferencial com condição inicial
A pergunta é: determinar a(s) solução(ões)
que satisfaçam a equação diferencial e a condição inicial dada.
Passo 2
Entendendo o que dá para fazer imediatamente (sem pular passos): a derivada de
em relação a
é dada por uma função só de
,
. Isso significa que podemos integrar em
para recuperar
. Em termos práticos, reescrevemos a equação diferencial como
e então integramos ambos os lados em
. Antes de integrar, é útil transformar
numa forma mais fácil de integrar.
Passo 3
Usando a identidade de ângulo duplo para cosseno: sabemos que
Isolando
obtemos a forma mais prática para integrar:
Expliquei isso porque integrar
diretamente é menos imediato; já
é trivial de integrar.
Passo 4
Agora integramos:
Integramos termo a termo. A integral de
em
é
. A integral de
é
, porque
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Escrevendo a solução geral da equação diferencial:
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
:
Sabemos que
, então a equação fica
Logo
.
Passo 6
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Podemos conferir rapidamente: derivando,
Usando
vemos que
, e em
temos
. Tudo confere.