Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
\frac{d y}{d x}=\cos ^{2} x, y(\pi)=(\pi / 2)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
Temos a equação diferencial com condição inicial
\frac{d y}{d x}=\cos^{2} x,\qquad y(\pi)=\frac{\pi}{2}.
A pergunta é: determinar a(s) solução(ões) y(x) que satisfaçam a equação diferencial e a condição inicial dada.

Passo 2

Entendendo o que dá para fazer imediatamente (sem pular passos): a derivada de y em relação a x é dada por uma função só de x, \cos^{2}x. Isso significa que podemos integrar em x para recuperar y. Em termos práticos, reescrevemos a equação diferencial como
dy=\cos^{2}x\,dx,
e então integramos ambos os lados em x. Antes de integrar, é útil transformar \cos^{2}x numa forma mais fácil de integrar.

Passo 3

Usando a identidade de ângulo duplo para cosseno: sabemos que
\cos 2x=2\cos^{2}x-1.
Isolando \cos^{2}x obtemos a forma mais prática para integrar:
\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
Expliquei isso porque integrar \cos^{2}x diretamente é menos imediato; já \cos 2x é trivial de integrar.

Passo 4

Agora integramos:
\int \cos^{2}x\,dx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx.
Integramos termo a termo. A integral de \frac{1}{2} em x é \frac{x}{2}. A integral de \frac{1}{2}\cos 2x é \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{1}{4}\sin 2x, porque \int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx). Portanto
\int \cos^{2}x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Escrevendo a solução geral da equação diferencial:
y(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x + C.
Agora aplicamos a condição inicial y(\pi)=\frac{\pi}{2} para determinar C. Substituindo x=\pi e y=\frac{\pi}{2}:
\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{4}\sin(2\pi)+C.
Sabemos que \sin(2\pi)=0, então a equação fica
\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+0+C.
Logo C=0.

Passo 6

Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x.
Podemos conferir rapidamente: derivando,
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot 2\cos 2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x.
Usando \cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2} vemos que \frac{d y}{d x}=\cos^{2}x, e em x=\pi temos y(\pi)=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{4}\sin 2\pi=\frac{\pi}{2}. Tudo confere.

Resposta

y(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x

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