Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Informações dadas:
e a condição inicial
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): quando temos uma equação da forma
, podemos obter
integrando ambos os lados em relação a
. Isso porque integrar a derivada recupera a função até uma constante:
Vou aplicar isso com
. Só lembrando a fórmula básica de antiderivadas que vamos usar: para todo
,
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Calcular a antiderivada de
usando a fórmula acima com
:
Portanto a família de soluções gerais da equação diferencial é
onde
é uma constante desconhecida que vamos determinar com a condição inicial.
Passo 4
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
em
:
Calcule
, então
Passo 5
Substituir o valor de
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Fazer uma checagem rápida: derivando
obtemos
, que coincide com a equação dada; avaliando em
obtemos
, que satisfaz a condição inicial.