Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
\frac{d y}{d x}=x^{2}, y(2)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Informações dadas:
\frac{dy}{dx} = x^{2},
e a condição inicial
y(2)=0.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): quando temos uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}=f(x), podemos obter y(x) integrando ambos os lados em relação a x. Isso porque integrar a derivada recupera a função até uma constante:
y(x)=\int f(x)\,dx + C.
Vou aplicar isso com f(x)=x^{2}. Só lembrando a fórmula básica de antiderivadas que vamos usar: para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Calcular a antiderivada de x^{2} usando a fórmula acima com n=2:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
Portanto a família de soluções gerais da equação diferencial é
y(x)=\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é uma constante desconhecida que vamos determinar com a condição inicial.

Passo 4

Aplicar a condição inicial y(2)=0. Substituindo x=2 em y(x):
0 = y(2)=\frac{2^{3}}{3}+C.
Calcule 2^{3}=8, então
0=\frac{8}{3}+C \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{8}{3}.

Passo 5

Substituir o valor de C na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{8}{3}.
Fazer uma checagem rápida: derivando y(x) obtemos \dfrac{dy}{dx}=x^{2}, que coincide com a equação dada; avaliando em x=2 obtemos y(2)=\dfrac{8}{3}-\dfrac{8}{3}=0, que satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{8}{3}

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