Determine as soluçös na forma
para a equação diferencial
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução implícita na forma
.
Conteúdo: identificação de equação quase exata, busca de fator integrante em função de e determinação de uma função
cujo diferencial seja a equação dada.
Conteúdo: identificação de equação quase exata, busca de fator integrante em função de
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos a condição
que é função apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
Chamemos
e
.
Verificamos e
,
logo a equação torna-se exata.
Verificamos
logo a equação torna-se exata.
Passo 5
Procuramos
tal que
Integramos em
:
onde
é função a determinar.
Passo 6
Impondo
segue
, ou seja
.
Passo 7
Assim a função de potencial é
e a solução geral implícita é