Determine as soluçös na forma F(x, y)=c para a equação diferencial \left(x+y^{2}\right) d x-2 x y d y=0 :

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x + y^{2}\bigr)\,dx \;-\;2xy\,dy \;=\;0
e pede a solução implícita na forma F(x,y)=C.
Conteúdo: identificação de equação quase exata, busca de fator integrante em função de x e determinação de uma função F(x,y) cujo diferencial seja a equação dada.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=x+y^2, \quad N(x,y)=-2xy.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-2y.
Como \partial M/\partial y\ne\partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(x) que dependa só de x. Usamos a condição
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{2y-(-2y)}{-2xy} =\frac{4y}{-2xy}=-\frac{2}{x}
que é função apenas de x. Logo
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(-2\ln|x|\bigr) = x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=x^{-2}, obtendo
\Bigl(\tfrac{1}{x}+\tfrac{y^2}{x^2}\Bigr)\,dx \;-\;\tfrac{2y}{x}\,dy \;=\;0.
Chamemos \tilde M(x,y)=\tfrac{1}{x}+\tfrac{y^2}{x^2} e \tilde N(x,y)=-\tfrac{2y}{x}.
Verificamos \partial\tilde M/\partial y=2y/x^2 e \partial\tilde N/\partial x=2y/x^2,
logo a equação torna-se exata.

Passo 5

Procuramos F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} =\tilde M(x,y) =\frac1x+\frac{y^2}{x^2}.
Integramos em x:
F(x,y) =\int\Bigl(\frac1x+\frac{y^2}{x^2}\Bigr)\,dx =\ln|x|-\frac{y^2}{x}+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 6

Impondo
\frac{\partial F}{\partial y} =-\frac{2y}{x}+h'(y) \stackrel{!}{=}\tilde N(x,y) =-\frac{2y}{x},
segue h'(y)=0, ou seja h(y)=\text{constante}.

Passo 7

Assim a função de potencial é
F(x,y)=\ln|x|-\frac{y^2}{x}
e a solução geral implícita é
\boxed{\ln|x|-\frac{y^2}{x}=C.}

Resposta

\displaystyle \ln|x|-\frac{y^2}{x}=C

Exercícios relacionados