A posiçio de um carrinho conectado a uma mola é dada por y(t), onde t é tempo e y=0 é a posição de repouso da mola. A posiçào do carrinho que é solto de yo >0 é modelada pela equaçào diferencial y^{\prime \prime}+b \cdot y^{\prime}+y=0.
Escolla b no conjunto {1,2,3,4,5} para que a freagem tenha oscilaçöes em torno da posiçāo de repouso. Depois de escolber b, determine a forma geral das soluçios:

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + b\,y' + y = 0
e pede que a gente escolha b\in\{1,2,3,4,5\} de modo a termos oscilações em torno de y=0. Em seguida, queremos obter a forma geral das soluções para esse b.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
\lambda^2 + b\,\lambda + 1 = 0.
As raízes são
\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4}}{2}.

Passo 3

Para termos oscilações (regime subamortecido), precisamos que o discriminante seja negativo:
b^2 - 4 < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad b < 2.
Dentre os valores possíveis \{1,2,3,4,5\}, apenas b=1 satisfaz b<2.

Passo 4

Com b=1, as raízes ficam
\lambda = \frac{-1}{2} \pm \mathrm{i}\,\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo a solução geral é
y(t) = e^{-\tfrac{1}{2}t}\Bigl(C_1\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr) + C_2\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr)\Bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

b =1
y(t) = e^{-\tfrac{1}{2}t}\Bigl(C_1\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr) + C_2\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr)\Bigr).

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