Determine as soluçös na forma
para a equação diferencial
:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
Aqui identificamos
O objetivo é achar uma função
tal que
seja equivalente à equação dada, isto é, encontrar
.
Passo 2
Verificamos se a equação é exata calculando
Como
, a equação não é exata. Vamos, então, buscar um fator integrante que dependa só de
.
Passo 3
Usamos o fato de que, se
é função apenas de
, então existe um fator integrante
. Calculamos
Isso depende somente de
, logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtém-se
Chamemos
Verifica-se agora a exatidão pois
e de fato
.
Passo 5
Buscamos
tal que
e
.
Integrando em relação a
:
Integrando
onde
é função arbitrária de
.
Passo 6
Impondo
, temos
Logo
e
é constante.
Resposta
A solução implícita geral é
com
constante.