Determine as soluçös na forma F(x, y)=c para a equação diferencial \left(x+y^{2}\right) d x-2 x y d y=0 :

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(x+y^{2}\bigr)\,dx \;-\;2xy\,dy \;=\;0.
Aqui identificamos
M(x,y)=x+y^{2}, \quad N(x,y)=-2xy.
O objetivo é achar uma função F(x,y) tal que dF=0 seja equivalente à equação dada, isto é, encontrar F(x,y)=C.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata calculando
\frac{\partial M}{\partial y} =2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =-2y.
Como 2y\neq -2y, a equação não é exata. Vamos, então, buscar um fator integrante que dependa só de x.

Passo 3

Usamos o fato de que, se
\frac{1}{N}\Bigl(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\Bigr)
é função apenas de x, então existe um fator integrante \mu(x). Calculamos
\frac{1}{N}\Bigl(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\Bigr) =\frac{1}{-2xy}\bigl(2y-(-2y)\bigr) =\frac{4y}{-2xy} =-\frac{2}{x}.
Isso depende somente de x, logo
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(-2\ln x\bigr) =x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-2}. Obtém-se
\Bigl(\tfrac{x+y^2}{x^2}\Bigr)dx \;-\; \Bigl(\tfrac{2xy}{x^2}\Bigr)dy = \Bigl(\tfrac1x+\tfrac{y^2}{x^2}\Bigr)dx - \Bigl(\tfrac{2y}{x}\Bigr)dy =0.
Chamemos
\widetilde M(x,y)=\frac1x+\frac{y^2}{x^2}, \quad \widetilde N(x,y)=-\frac{2y}{x}.
Verifica-se agora a exatidão pois
\frac{\partial\widetilde M}{\partial y} =\frac{2y}{x^2}, \qquad \frac{\partial\widetilde N}{\partial x} =-\frac{2y}{x^2},
e de fato \partial\widetilde M/\partial y=\partial\widetilde N/\partial x.

Passo 5

Buscamos F(x,y) tal que \partial F/\partial x=\widetilde M e \partial F/\partial y=\widetilde N.
Integrando \widetilde M em relação a x:
F(x,y)=\int\Bigl(\frac1x+\frac{y^2}{x^2}\Bigr)dx =\ln x - \frac{y^2}{x} + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 6

Impondo \partial F/\partial y=\widetilde N, temos
\frac{\partial F}{\partial y} =-\frac{2y}{x}+h'(y) \stackrel!=-\frac{2y}{x}.
Logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
\boxed{\ln x \;-\;\frac{y^2}{x}=C,}
com C constante.

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