Determine a soma das medidas dos ângulos internos dos seguintes polígonos:
b) heptágono.
b) heptágono.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um heptágono. Informações dadas e imediatamente úteis: um heptágono é um polígono com
lados. Não há figura adicional; consideramos um heptágono simples (não auto-intersectado), que é o caso padrão para este tipo de pergunta.
Passo 2
Ideia central (sem ainda calcular): uma forma muito comum de achar a soma dos ângulos internos de um polígono é dividi-lo em triângulos, porque já sabemos a soma dos ângulos internos de um triângulo. Vou explicar isso passo a passo, com calma. Primeiro, lembro que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale
. Isso é básico e nós usamos isso como bloco de construção.
Passo 3
Como dividir o polígono em triângulos (triangulação): escolha um vértice cualquiera do polígono e desenhe diagonais desse vértice para todos os outros vértices que não sejam vizinhos imediatos. Vou explicar por que isso funciona e quantos triângulos aparecem.
- Num polígono com
vértices, a partir de um vértice é possível traçar diagonais para todos os outros vértices exceto para ele mesmo e os dois adjacentes. Logo o número de diagonais que saem desse vértice é . - Essas
diagonais particionam o polígono em exatamente triângulos. Exemplos pequenos para ver o padrão: se (triângulo) temos triângulo; se (quadrilátero) temos triângulos; se temos triângulos. A construção com diagonais a partir de um vértice gera esse número de triângulos em geral.
Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos do polígono é a soma das medidas dos ângulos internos dessestriângulos.
Passo 4
Usando o fato de que cada triângulo tem soma de ângulos
, a soma dos ângulos internos do polígono com
lados é
Aqui a variável
significa “número de lados (ou vértices) do polígono”. Essa é a fórmula padrão; vou aplicá-la ao caso pedido.
Passo 5
Aplicando ao heptágono: para um heptágono temos
. Substituindo na fórmula,
Calcule passo a passo:
Passo 6
Verificação alternativa (curtinha): outra forma de ver é usar ângulos externos. A soma dos ângulos externos (um por vértice, tomando o giro externo) de um polígono simples vale
. Como cada ângulo interno mais o respectivo externo vale
, a soma interna total é
, mesma fórmula — só um jeito diferente de lembrar na prova.