Determine a soma das medidas dos ângulos internos dos seguintes polígonos:
b) heptágono.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um heptágono. Informações dadas e imediatamente úteis: um heptágono é um polígono com 7 lados. Não há figura adicional; consideramos um heptágono simples (não auto-intersectado), que é o caso padrão para este tipo de pergunta.

Passo 2

Ideia central (sem ainda calcular): uma forma muito comum de achar a soma dos ângulos internos de um polígono é dividi-lo em triângulos, porque já sabemos a soma dos ângulos internos de um triângulo. Vou explicar isso passo a passo, com calma. Primeiro, lembro que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale \,180^\circ. Isso é básico e nós usamos isso como bloco de construção.

Passo 3

Como dividir o polígono em triângulos (triangulação): escolha um vértice cualquiera do polígono e desenhe diagonais desse vértice para todos os outros vértices que não sejam vizinhos imediatos. Vou explicar por que isso funciona e quantos triângulos aparecem.
  • Num polígono com n vértices, a partir de um vértice é possível traçar diagonais para todos os outros vértices exceto para ele mesmo e os dois adjacentes. Logo o número de diagonais que saem desse vértice é n-3.
  • Essas n-3 diagonais particionam o polígono em exatamente n-2 triângulos. Exemplos pequenos para ver o padrão: se n=3 (triângulo) temos 3-2=1 triângulo; se n=4 (quadrilátero) temos 4-2=2 triângulos; se n=5 temos 5-2=3 triângulos. A construção com diagonais a partir de um vértice gera esse número de triângulos em geral.
    Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos do polígono é a soma das medidas dos ângulos internos desses n-2 triângulos.

Passo 4

Usando o fato de que cada triângulo tem soma de ângulos \,180^\circ, a soma dos ângulos internos do polígono com n lados é
(n-2)\cdot 180^\circ.
Aqui a variável n significa “número de lados (ou vértices) do polígono”. Essa é a fórmula padrão; vou aplicá-la ao caso pedido.

Passo 5

Aplicando ao heptágono: para um heptágono temos n=7. Substituindo na fórmula,
(7-2)\cdot 180^\circ.
Calcule passo a passo:
7-2=5,
5\cdot 180^\circ = 5\cdot (100^\circ+80^\circ)=500^\circ+400^\circ=900^\circ.

Passo 6

Verificação alternativa (curtinha): outra forma de ver é usar ângulos externos. A soma dos ângulos externos (um por vértice, tomando o giro externo) de um polígono simples vale 360^\circ. Como cada ângulo interno mais o respectivo externo vale 180^\circ, a soma interna total é n\cdot 180^\circ-360^\circ=(n-2)\cdot 180^\circ, mesma fórmula — só um jeito diferente de lembrar na prova.

Resposta

900^\circ

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