Determine a soma das medidas dos ângulos internos dos seguintes polígonos:
c) decágono.

Passo 1

O enunciado pede a soma das medidas dos ângulos internos de um decágono. Informações dadas: trata-se de um polígono com 10 lados (decágono). Pergunta: qual é a soma das medidas de todos os ângulos internos desse polígono?

Passo 2

Vamos introduzir uma notação simples para organizar a resolução. Seja n o número de lados do polígono e seja S a soma das medidas dos ângulos internos (em graus). No nosso caso específico, temos n=10. Ainda não calcularemos nada, só definimos as variáveis para ficar claro.

Passo 3

Agora a ideia chave: qualquer polígono convexo de n lados pode ser dividido em triângulos não sobrepostos traçando diagonais a partir de um mesmo vértice. Se você escolher um vértice e ligar esse vértice a todos os outros vértices não adjacentes, obtém-se exatamente n-2 triângulos. Explicando por que são n-2: a partir de um vértice existem n-1 outros vértices; dois deles são adjacentes (não formam diagonal) e os restantes n-3 são ligados por diagonais, formando juntamente com os dois lados adjacentes um total de 1+(n-3)=n-2 triângulos. Cada triângulo tem soma de ângulos igual a 180^\circ.

Passo 4

Como cada um dos n-2 triângulos contribui com 180^\circ para a soma total de ângulos do polígono, a fórmula geral é
S=(n-2)\cdot 180^\circ.
Aqui S é a soma total dos ângulos internos (em graus) e n é o número de lados do polígono.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula ao decágono, onde n=10. Substituindo:
S=(10-2)\cdot 180^\circ = 8\cdot 180^\circ.
Fazendo a multiplicação passo a passo: 8\cdot 100^\circ=800^\circ e 8\cdot 80^\circ=640^\circ. Somando 800^\circ+640^\circ=1440^\circ. Portanto a soma das medidas dos ângulos internos do decágono é 1440^\circ.

Passo 6

Checagem rápida com polígonos simples para fixar a ideia: para n=3 (triângulo) a fórmula dá S=(3-2)\cdot180^\circ=180^\circ — correto; para n=4 (quadrilátero) dá S=(4-2)\cdot180^\circ=360^\circ — também correto. Isso ajuda a confiar na fórmula antes de aplicá-la ao decágono.

Resposta

\,1440^\circ

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