Determine a soma das medidas dos ângulos internos dos seguintes polígonos:
c) decágono.
c) decágono.
Passo 1
O enunciado pede a soma das medidas dos ângulos internos de um decágono. Informações dadas: trata-se de um polígono com 10 lados (decágono). Pergunta: qual é a soma das medidas de todos os ângulos internos desse polígono?
Passo 2
Vamos introduzir uma notação simples para organizar a resolução. Seja
o número de lados do polígono e seja
a soma das medidas dos ângulos internos (em graus). No nosso caso específico, temos
. Ainda não calcularemos nada, só definimos as variáveis para ficar claro.
Passo 3
Agora a ideia chave: qualquer polígono convexo de
lados pode ser dividido em triângulos não sobrepostos traçando diagonais a partir de um mesmo vértice. Se você escolher um vértice e ligar esse vértice a todos os outros vértices não adjacentes, obtém-se exatamente
triângulos. Explicando por que são
: a partir de um vértice existem
outros vértices; dois deles são adjacentes (não formam diagonal) e os restantes
são ligados por diagonais, formando juntamente com os dois lados adjacentes um total de
triângulos. Cada triângulo tem soma de ângulos igual a
.
Passo 4
Como cada um dos
triângulos contribui com
para a soma total de ângulos do polígono, a fórmula geral é
Aqui
é a soma total dos ângulos internos (em graus) e
é o número de lados do polígono.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula ao decágono, onde
. Substituindo:
Fazendo a multiplicação passo a passo:
e
. Somando
. Portanto a soma das medidas dos ângulos internos do decágono é
.
Passo 6
Checagem rápida com polígonos simples para fixar a ideia: para
(triângulo) a fórmula dá
— correto; para
(quadrilátero) dá
— também correto. Isso ajuda a confiar na fórmula antes de aplicá-la ao decágono.